Formulario Cálculo
a
5. Leyes de los logaritmos.
a ) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)
1.
Los N´ meros.
u
1. Leyes de los exponentes y radicales.
mn
a) a a = a
d)
n
a
b
g ) a1/n
j)
m +n
mn
b ) (a ) = a
n
mn
a
bn
√
= na
d ) aloga (x) = x
1
an
√m
= ( n a)
f ) a−n =
e ) loga (ax ) = x
i ) am/n
e)
√
√√
n
n
ab = n ab
nn
c ) (ab) = a b
a
= am− n
an
√
h ) am/n = n am
√
n
a
a
k) n = √
n
b
b
= loga (P ) − loga (Q)
c ) loga (Qn ) = n loga (Q)
n
m
=
P
Q
b ) loga
f ) loga (1) = 0
l)
√
n
m
a=
g ) aloga (a) = 1
√
a
mn
h ) log(x) = log10 (x)
2. Productos Notables.
i ) ln(x) = loge (x)
2
a ) Binomios Conjugados: (x + y )(x − y ) = x − y
22
2
b ) Binomio al Cuadrado: (x ± y ) = x ± 2xy + y
j ) Cambio de base:
2
c ) Binomio al Cubo: (x ± y )3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3
logb (Q)
logb (a)
loga (Q) =
2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas
2
d ) (x + y ) = x2 + 2 xy + y 2
2
e ) (x − y ) = x2 − 2 xy + y 2
3
f ) (x + y ) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3
6. Soluciones Exactas de EcuacionesAlgebraicas.
3
g ) (x − y ) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3
a ) La Ecuaci´n Cuadr´tica: ax2 + bx + c = 0 tiene
o
a
soluciones:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
2
El n´ mero b − 4ac se llama discriminante de la ecuau
ci´n.
o
i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ son reales y diferentes.
ıces
ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ son reales e iguales.
ıces
iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ son complejasconjugaıces
das.
4
h ) (x + y ) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
i ) (x − y )4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4
5
j ) (x + y ) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5
k ) (x − y )5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5
3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces:
n
(x + y )n =
r =0
Nota:
n
r
= n Cr =
n n−r r
x
y
r
b ) Para laEcuaci´n C´ bica: x3 + ax2 + bx + c = 0
o
u
sean:
n!
r!(n − r)!
Q=
4. Factores Notables.
a ) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y )(x − y )
b ) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y )(x2 − xy + y 2 )
3
3
2
S=
d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ± 2xy + y 2 = (x ± y )2
2
3
3
e ) x − y = (x − y ) (x + y )
2
f ) x − y = (x − y ) x + xy + y
2
g ) x3 + y 3 = (x+ y ) x2 − xy + y 2
4
4
2
h ) x − y = (x − y ) (x + y ) x + y
x3 = −
2
i ) x5 − y 5 = (x − y ) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4
j ) x5 + y 5 = (x + y ) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4
k ) x6 −y 6 = (x − y ) (x + y ) x2 + xy + y 2
l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2
m ) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2
R+
R=
9ab − 27c − 2a3
54
Q3 + R 2 ,
T=
Entonceslas soluciones son:
a
x1 =S + T −
3
S+T
a
x2 = −
+
+
2
3
2
c ) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y )(x + xy + y )
2
3
3 b − a2
,
9
x2 − xy + y 2
x2 − xy + y 2
x2 + 2 xy + 2 y 2
1
S+T
a
+
2
3
−
3
R−
√
(S − T ) 3
2
√
(S − T ) 3
2
Q3 + R 2
i
i
El n´ mero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuau
ci´n.
o
i) Si Q3 + R2 > 0, hay unara´ real y dos son comız
plejas conjugadas.
ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ son reales y por lo meıces
nos dos son iguales.
iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ son reales y diferentes.
ıces
3.
Funciones Trigonom´tricas.
e
3.1.
Relaciones
nom´tricas.
e
csc(A) =
entre
Funciones
cos3 (A) =
5
8
sen(A) −
5
16
sen(3A) +
1
16
sen(5A)
5
8
cos(A) +
5
16cos(3A) +
1
16
cos(5A)
csc2 (A) − cot2 (A) = 1
2
3.3.
Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonom´tricas.
e
sen(A) + sen(B ) = 2 sen
A +B
2
cos
A− B
2
sen(A) − sen(B ) = 2 sen
A− B
2
cos
A +B
2
cos(A) + cos(B ) = 2 cos
A +B
2
cos
A− B
2
cos(A) − cos(B ) = 2 sen
A +B
2
sen
B −A
2
+
1
2
sen(A) −
1
2...
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