formulario de claculo

´
´
UNIVERSIDAD AUTONOMA
DE YUCATAN
´
´
FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA
Formulario de C´
alculo Integral

1

Trigonom´
etria

1.1

Definiciones

• sin(θ) =

cateto opuesto
hipotenusa

• cos(θ) =

cateto adyacente
hipotenusa

• tan(θ) =

cateto opuesto
cateto adyacente

1.2

Relaciones Pitag´
oricas:

• sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1

1.3

• cot2 (x) + 1 = csc2 (x)

• tan2 (x) + 1 = sec2 (x)

• tan (θ) =tan (θ + π)

• cos (θ) = sin

π
−θ
2

• tan (θ) = cot

π
−θ
2

• sec (θ) = csc

π
−θ
2

• csc (θ) = sec

π
−θ
2

• cot (θ) = tan

π
−θ
2

Relaciones por definici´
on

• tan (θ) =

sin (θ)
cos (θ)

cos (θ)
1
=
• cot (θ) =
tan (θ)
sin (θ)
• sec (θ) =

1
cos (θ)

1
• csc (θ) =
sin (θ)
• sin (θ) = sin (θ + 2π)
• cos (θ) = cos (θ + 2π)

• sin (−θ) = − sin (θ)
• cos (−θ) = cos (θ)
• tan (−θ) = − tan(θ)
• sec (−θ) = sec (θ)
• csc (−θ) = − csc (θ)
• cot (−θ) = − cot (θ)
• sin (θ) = cos

π
−θ
2
1

1.4

Otras relaciones B´
asicas

Otras relaciones (las igualdades se interpretan por filas, ejemplo sin (θ) =

Funci´on

sin (θ)

sin (θ)

sin (θ)

cos (θ)

2

1 − sin (θ)

tan (θ)

√ sin(θ)2

csc (θ)

1
sin(θ)

sec (θ)

√ 1 2
√1−sin2 (θ)

tan (θ)
√ tan(θ)2

cos (θ)
√
2

√ 1 2
1+tan (θ)

1+tan (θ)

1−cos(θ)
cos(θ)

√

tan (θ)
√
2

1+tan (θ)
tan(θ)

1
1−cos2 (θ)
1
cos(θ)

1−sin (θ)
sin(θ)

1+tan (θ)

1 − cos2 (θ)

1−sin (θ)

cot (θ)
1.5

cos (θ)

1 − cos (θ) = √ tan(θ)2

1 + tan2 (θ)

√ cos(θ)2

1
tan(θ)

1−cos (θ)

= ··· )

csc (θ)
√
√

sec (θ)
√ 2

1
csc(θ)

sec (θ)−1
sec(θ)

√

1
sec(θ)

√ cot(θ)2

csc2 (θ−1)
csc(θ)
1

cot (θ)

1+cot (θ)
1
cot(θ)

sec2 (θ) − 1

csc2 (θ)−1

√ sec(θ)
2

csc (θ)1 + cot2 (θ)
√
2

sec (θ)−1

√ csc(θ)
2

1+cot (θ)
cot(θ)

sec (θ)

csc (θ)−1

√

csc2 (θ) − 1

1
1+cot2 (θ)

1

cot (θ)

sec2 (θ)−1

´
Angulos
dobles y medios

• sin (2θ) = 2 sin (θ) cos (θ)

• sin

•

θ
2

=±

1 − cos (θ)
2

•
tan

2

2

cos (2θ) = cos (θ) − sin (θ)
= 2 cos2 (θ) − 1

θ
2

= csc (θ) − cot (θ)
=±

2

= 1 − 2 sin (θ)
=

sin (θ)
1 + cos (θ)
1 − cos (θ)
=
sin (θ)

1 − tan2 (θ)
1 +tan2 (θ)

• tan (2θ) =

2 tan (θ)
1 − tan2 (θ)

• cot (2θ) =

cot (θ) − tan (θ)
2

1 − cos (θ)
1 + cos (θ)

=

• cos

θ
2

=±

1 + cos (θ)
2

2

• cot

θ
2

= csc (θ) + cot (θ)

1.6

Suma y diferencia de ´
angulos

• sin (θ ± ω) = sin (θ) cos (ω) ± cos (θ) sin (ω)

2

• cos (θ ± ω) = cos (θ) cos (ω) ∓ sin (θ) sin (ω)

• tan (θ ± ω) =

tan (θ) ± tan (ω)
1 ∓ tan (θ) tan (ω)

Integraci´
on

2.1Integraci´
on por sustituci´
on

Teorema 1 Sea g una funci´
on cuyo recorrido o rango es un intervalo I, y sea f una funci´
on continua en I. Si g es derivable en su dominio F es una
antiderivada o primitiva de f en I, entonces f (g (x)) g´(x) dx = F (g (x)) + C. Si u = g (x), entonces du = g (x) dx y f (u) du = F (u) + C

2.2

Integraci´
on por partes

udv = uv −

2.3

vdu Para seleccionar u usamosel nemotecnicismo ILATE

Integraci´
on por sustituci´
on trigonom´
etrica
Para
√
2
2 2
√a − b u
2 + b2 u2
a
√
b2 u2 − a2

2.4

hacer el cambio
u
du
u = ab sin (θ) du = ab cos (θ) dθ
u = ab tan (θ) du = ab sec2 (θ) dθ
u = ab sec (θ) du = ab sec (θ) tan (θ) dθ

Fracciones parciales
• A cada factor cuadr´
atico ax2 + bx + c (irreducible en los reales) que
aparezca una solo vez como factor deldenominador, corresponde una
fracci´
on parcial de la forma
Ax + B
ax2 + bx + c
en donde A y B son constantes no simult´
aneamente nulas.

Teorema 2 Cualquier fracci´
on propia, reducida a su m´ınima expresi´
on, puede
expresarse como una suma de fracciones parciales de los siguientes tipos:
• A cada factor lineal de la forma ax + b que aparezca una sola vez como
factor del denominador, corresponde unafracci´
on parcial de la forma
A
ax + b
en donde A = 0 es una constante.

• A cada factor cuadr´
atico ax2 + bx + c (irreducible en los reales) que
aparezca k veces como factor del denominador, corresponde la suma de k
fracciones parciales de la forma:
A1 x + B 1
A2 x + B 2
Ak x + Bk
+
+ ··· +
k
ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2
(ax2 + bx + c)

• A cada factor lineal de ax + b que aparezca k veces...