FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE JORGE M GALVIATI

FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD

Jorge M. Galbiati

p´g.
a
DISTRIBUCION BINOMIAL

2

DISTRIBUCION POISSON

4

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

5

DISTRIBUCION GEOMETRICA

7

DISTRIBUCION NORMAL

8

DISTRIBUCION JI-CUADRADO

11

DISTRIBUCION T DE STUDENT

13

DISTRIBUCION F DE SNEDECOR

15

DISTRIBUCION UNIFORME

17

DISTRIBUCION EXPONENCIAL18

DISTRIBUCION GAMA

20

DISTRIBUCION BETA

23

TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

25

1

DISTRIBUCION BINOMIAL
Funci´n de probabilidad:
o
p(x) =

n!
px (1 − p)n−x
x!(n − x)!

Espacio param´trico:
e
Valor esperado:
Varianza:

n ∈ {1, 2, 3, ...}

si x = 0, 1, 2, ..., n

p ∈ (0, 1)

np

np(1 − p)
(1 − p + p et )n

Funci´n generadora demomentos:
o

F(x)

p(y)

0

n

x

y

APROXIMACION NORMAL DE LA BINOMIAL
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p,
o
a
entonces si n es grande y si p no es ni muy cercano a cero ni muy cercano a 1, la
X−np
variable aleatoria Z = √(np(1−p)) tiene distribuci´n aproximada normal es’tandar.
o
En la pr´ctica, si n es grande y p no es ni muy peque˜o ni muy grande, si se requiere
a
n
la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´n binomial, se puede obtener su
o
valor aproximado buscando en la tabla normal
x − 0,5 − np
FN √
(np(1 − p)
o
a
en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, las
condiciones simult´neas n > 30 , np > 5 y n(1 − p) > 5.
a

2

APROXIMACION POISSON DE LA BINOMIAL.Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p, eno
a
tonces si n es grande, y p muy cercano a cero, la variable aleatoria X tiene distribuci´n aproximada poisson con par´metro λ = np.
o
a
En la pr´ctica, si n es grande y p cercano a cero, si se requiere la probabilidad acua
mulada F (x) con F distribuci´n binomial, se puede obtener su valor aproximado
obuscando en la tabla poisson
x

FP (x) =
y=0

e−λ (λ)y
y!

en que FP es la distribuci´n poisson con par´metro λ = np. Se puede utilizar, como
o
a
criterio, las condiciones simult´neas n > 30 y np ≤ 5.
a

3

DISTRIBUCION POISSON
Funci´n de probabilidad:
o
e−λ λx
p(x) =
x!

si x = 0, 1, 2, ...

Espacio param´trico:
e
λ ∈ (0, +∞)
Valor esperado:
λ
Varianza:
λ
Funci´ngeneradora de momentos:
o

e[λ(e −1)]
t

F(x)

p(y)

0

x

y

APROXIMACION NORMAL DE LA POISSON.
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n Poisson con par´metro λ , entonces
o
a
√
o
si λ es grande, la variable aleatoria Z = X−λ tiene distribuci´n aproximada normal
λ
est´ndar.
a
En la pr´ctica, si λ es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F
adistribuci´n Poisson, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla
o
normal
x−λ
FN √
(λ
o
a
en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, la
condici´n λ > 36 .
o

4

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Funci´n de probabilidad:
o
p(x) =

k!
n!(n−k)!

(N −k)!
(n−x)!(N −k−n+x)!
N!
n!(N −n)!

×

si x = a, a + 1, a + 2, ..., b

enque a = max(0; n + k − N) y b = min(k, n). x es el n´ mero de ´xitos en la
u
e
muestra.
Espacio param´trico:
e
N,k y n enteros positivos, tales que k < N, n < N y
n < N − k.
N es el tama˜ o de la poblaci´n.
n
o
k es el n´ mero de ´xitos en la poblaci´n.
u
e
o
n es el tama˜ o de la muestra.
n
nk
N

Valor esperado:
Varianza:

nk
(1
N

−

k
) N −n
N
N −1

Funci´ngeneradora de momentos:
o
(N − n)!(N − k)!
H(−n; −k; N − k − n + 1; et )
N!
donde H(p, q, r, z) = 1 +

pq z
r 1!

+

p(p+1)q(q+1) z 2
r(r+1)
2!

+

p(p+1)(p+2)q(q+1)(q+2) z 3
r(r+1)(r+2)
3!

(funci´n hipergeom´trica)
o
e
F(x)

p(y)

a

b

x

5

y

APROXIMACION BINOMIAL DE LA HIPERGEOMETRICA
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n hipergeom´trica con...