Formulario de ecuaciones

´ ´ ´ METODOS CLASICOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS • ECUACIONES EXPL´ ICITAS DE PRIMER ORDEN. Es decir, de la forma y ′ = f (x, y). 1. Variables separadas. Son de la forma g(x) = h(y)y ′ .
dy Formalmente, se separa g(x) = h(y) dx en g(x) dx = h(y) dy y se integra.

2. Ecuaci´n de la forma y ′ = f (ax + by). o El cambio de funci´n y(x) por z(x) dado por z = ax + by latransforma en una de o variables separadas. 3. Homog´neas. e Son de la forma

y . x Se hace el cambio de funci´n y(x) por u(x) mediante y = ux, transform´ndose as´ la E. D. o a ı en una de variables separadas. y′ = f 3′ . Reducibles a homog´neas. e Son de la forma y′ = f

a1 x + b1 y + c1 ax + by + c

.

3′ .1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 se cortan en (x0 , y0 ), sehace el cambio de variable y de funci´n X = x − x0 , Y = y − y0 . La ecuaci´n se reduce a una o o homog´nea. e ′ 3 .2. Si ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 son rectas paralelas, se hace el cambio de funci´n z = ax + by. La nueva ecuaci´n que aparece es de variables separadas. o o 3′′ . Homog´neas impl´ e ıcitas. Son de la forma

y ′ , y = 0. x Consideramos la curva F (α, β) = 0. Siencontramos una representaci´n param´trica o e α = ϕ(t), β = ψ(t), F (ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de funci´n y por t mediante o y = ϕ(t), y ′ = ψ(t). As´ derivando y = xϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´n en ı, o x variables separadas. F 3′′′ . Si la ecuaci´n y ′ = f (x, y) o es tal que, para alg´n α = 0 fijo, f satisface u f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y), entonces el cambio de funci´n y = z αtransforma la ecuaci´n en una homog´nea. (Si α = 1, o o e la E. D. ya es homog´nea; y si f cumple la relaci´n anterior con α = 0, la E. D. es de e o variables separadas.) 1

4. Ecuaciones exactas. Son las de la forma P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
P (x,y) dy es decir, y ′ = dx = − Q(x,y) , que cumplen Py = Qx . Se busca una funci´n F (x, y) tal que o dF = ω = P dx + Q dy, y la soluci´n de la E.D. es F (x, y) = C (siendo C constante). o

4′ . Reducibles a exactas: Factores integrantes. Si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar encontrar µ(x, y) tal que µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0 sea exacta. 4′ .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Ocurre cuando tom´ndose µ(x) = exp( h(x) dx). a 4′ .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y).Ocurre cuando tom´ndose µ(y) = exp( h(y) dy). a 4′ .3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y). 5. Ecuaciones lineales de primer orden. Son de la forma y ′ + a(x)y = b(x). Hay tres m´todos de resoluci´n: (i) Encontrar un factor integrante de la forma µ(x). e o (ii) Resolver la ecuaci´n lineal homog´nea asociada y ′ + a(x)y = 0 (que es de variables o e separadas), cuya soluci´n es y = C exp(−a(x) dx), y usar el m´todo de variaci´n de o e o las constantes (esto es, cambiar C por C(x) en la expresi´n anterior y sustituir en la o ecuaci´n lineal). (iii) Encontrar de alguna forma una soluci´n particular yp (x), con lo cual o o la soluci´n general de la lineal es yp m´s la soluci´n general de la homog´nea asociada. o a o e (iv) Descomponer y(x) = u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualara 0 el coeficiente de u, resolviendo la ecuaci´n que aparece (v ′ + a(x)v = 0, que es de variables separadas); tras o esto, queda una ecuaci´n en u(x) de variables separadas. o De cualquier modo se obtiene que la soluci´n general de la E. D. lineal es o y = exp − a(x) dx b(x) exp a(x) dx dx + C .
Py −Qx Q Qx −Py P

= h(x), = h(y),

5′ . Ecuaci´n de Bernoulli. o Es de la forma y ′ + a(x)y +b(x)y α = 0. Si α = 0 es lineal, y si α = 1, de variables separadas. En otro caso, se hace el cambio de funci´n y 1−α = z, con lo que la E. D. de Bernoulli se transforma en una lineal. Un segundo o m´todo de resoluci´n es el siguiente: se descompone y(x) = u(x)v(x) y se sustituye en e o la E. D., se iguala a 0 el coeficiente de u (queda v ′ + a(x)v = 0, que es de variables separadas), lo que nos...