formulario de matematica 4 (basicos)

PROBLEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA

Una ecuación diferencial de primer orden y´ = f(x; y) se llama homogénea si f(x; y) puede expresarse como g(y/x), donde g es una función de una variable. Una ecuación diferencial homogénea y´ = g(y/x) se transforma en una ecuación de variables separables mediante el cambio de variable:v = y/x.


SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL

Para resolver la ecuación lineal:



Se debe multiplicar ambos miembros por el factor integrante e integrar ambos lados.


SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXACTA

Una ecuación es exacta si es de la forma:



y existe una función f(x; y) tal que f = (P; Q). Se demuestra que esto ocurre cuando se cumple la condición: .
La solución de estaecuación viene dada, implícitamente, por la expresión:

f(x; y) = C


PROBLEMAS RESUELTOS

1) Solución de una ecuación homogénea. Probar que la siguiente ecuación es homogénea y obtener su solución general:



Solución

Si dividimos el numerador y el denominador del miembro derecho de la ecuación por x2, tendremos:



Si ahora hacemos el cambio de variables v = y/x tenemos:


quees el resultado que buscábamos.
2) Modelización y resolución de un problema industrial usando una EDO de 1º orden con una condición inicial. Un depósito contiene 50 litros de salmuera con 1kg de sal disuelta en ella. Se introduce en el depósito salmuera que contiene disuelto 0,1 kg de sal por litro a razón de 15 litros por minuto y la mezcla, bien revuelta, se deja salir a una tasa de 20 litrospor minuto. Hallar la cantidad de sal y(t) en el depósito en un instante cualquiera.

Solución

Nuestra incógnita es y(t), la cantidad de sal en el tanque para un tiempo t. Para prescindir de indicar las unidades, establecemos que todos los volúmenes estarán en litros, los tiempos en segundos y las masas en kilogramos.

Observemos ante todo que el volumen de líquido irá disminuyendo, dado queentran 15 l/min y se pierden 20 l/min, lo que arroja una pérdida neta de 5 l/min. Por ende, a un tiempo t se habrán perdido 5t litros y el volumen remanente será:

V(t) = 50 - 5t

Observemos que, dada la buena agitación que recibe el contenido del tanque, es razonable considerar que la concentración en el mismo es uniforme, y por lo tanto igual a la concentración a la salida. Quiere decirque:

Concentración en el tanque = .

Veamos ahora cuál es la variación de la cantidad total de sal en el tanque. Por un lado se recibe un chorro de 15 l/min a 0,1 kg/l; el producto entre estos dos valores nos da la cantidad de sal que se va ganando por minuto. Por otro lado, sale del tanque un chorro de 20 l/min, a una concentración variable en el tiempo y que vendrá dada por y(t)/(50-5t); elproducto entre ambos nos dará la cantidad de sal que se pierde por minuto. Por ende:

Variación de sal = Ganancia - Pérdida 

Reordenando esto nos queda la EDO:

; y(0) = 1

La condición inicial viene dada por el kilo de sal que había en el tanque al iniciarse el proceso.

La función P(t), esto es, el coeficiente del término lineal en y, es 20/(50-5t). Por ende el factor integrantevendrá dado por:

(recordemos que necesitamos un factor, no la familia completa). Hemos omitido las barras de valor absoluto en el logaritmo porque el volumen será siempre positivo.

Y multiplicando el factor por la anterior ecuación diferencial queda:



Para obtener el valor de la constante, recurrimos a la condición inicial, y así tenemos:

y(0) = 1 = –25 + 504C  C = 26/504 =4,1610-6

De modo que:



Obsérvese que esta expresión, a los 10 s, nos arroja una cantidad de sal nula, lo que efectivamente se compadece con el hecho de que para ese entonces se desagotó totalmente el tanque.
3) Transformación de una ecuación no lineal en una lineal usando un cambio de variable (ecuaciones de Bernoulli). a) Demostrar que la ecuación no lineal

y´ + P(x)y = Q(x)yn , n ...