Formulario Ec

FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Sistema lineal homog´
eneo:

Ecuaciones de variables separadas: son de la forma y = f (t)g(y) y se integran haciendo
1
dy =
g(y)

cuando g(y) = 0.

f (t) dt + c

Ecuaciones exactas:

Si g(y0 ) = 0 =⇒ y(t) = y0 es una soluci´on.

P (t, y) + Q(t, y) y = 0

es exacta si existe F (t, y) tal que

:

y(t) = c1 y1 (t) + · · · + cn yn (t) con c1 , . . . , cnconstantes si {y1 (t), . . . , yn (t)} es
un sistema fundamental de soluciones.

∂P
∂Q
.
=
P (t, y) + Q(t, y) y = 0 es exacta ⇐⇒
∂y
∂t

y(t) = Φ(t) c con c vector constante si Φ(t) es una matriz fundamental.

Factor integrante: μ(t, y) es un factor integrante de P (t, y) + Q(t, y) y = 0 si
μ(t, y) P (t, y) + μ(t, y) Q(t, y) y = 0 es exacta.
Existe un factor integrante
de la forma μ(t)

∂Q
1 ∂P
−
= f(t).
⇐⇒
Q ∂y
∂t

Existe un factor integrante
de la forma μ(y)

⇐⇒

∂Q ∂P
−
∂t
∂y

1
P

Sistema lineal no homog´
eneo:

y = A(t) y + b(t)

(sl).

Teorema. Si Φ(t) es una matriz fundamental de (sh) e yp (t) una soluci´on particular de

= g(y).

μ(t) = e

f (t) dt

.

μ(y) = e

g(y) dy

.

(sl) =⇒ y(t) = yp (t) + Φ(t) c es la soluci´on general de (sl).
Variaci´
on de las constantes. Si Φ(t) es unamatriz fundamental de (sh) =⇒
t

yp (t) = Φ(t)

Ecuaciones lineales: y + a(t) y = b(t) . Factor integrante: μ(t) = e

a(t) dt

Φ−1 (s) b(s) ds es una soluci´on particular de (sl).

t0

.

Principio de superposici´
on de soluciones: si y1 (t), . . . , yk (t) son soluciones de

Ecuaciones homog´
eneas:
en forma normal: y = F

y
t

y = A(t) y + b1 (t), . . . , y = A(t) y + bk (t)
. El cambio

y = zt

P (αt, α y) = αm P (t, y)
Q(α t, α y) = αm Q(t, y)

a1 t + b1 y + c1
a2 t + b2 y + c2

con a1 = 0 o b1 = 0:

la soluci´on de

y = A(t) y + b(t)
y(t0 ) = y0

es y(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 ) y0 + Φ(t)

t

Φ−1 (s) b(s) ds.

t0

Sistemas homog´
eneos de coeficientes constantes: y = A y (sh), A matriz cte. n × n.

a1 b1
a2 b2

= 0 (rectas paralelas), el cambio z = a1 t + b1 y =⇒ variables separadas.

a1 b1
a2 b2= 0 (rectas que se cortan en (t0 , y0 )). El cambio

t = T + t0
y = Y + y0

=⇒

Soluci´
on del problema de Cauchy. Si Φ(t) es una matrix fundamental de (sh),
=⇒

P (t, y) + Q(t, y) y = 0 es una ecuaci´on homog´enea.
y =h

respectivamente

y(t) = y1 (t) + · · · + yk (t) es soluci´on de y = A(t) y + b1 (t) + · · · + bk (t).

=⇒ variables separadas.

Si P (t, y) y Q(t, y) homog´eneas de grado m, esdecir,

Ecuaciones de la forma

Soluci´
on del problema de Cauchy. Si Φ(t) es una matrix fundamental de (sh), la
y = A(t) y
soluci´on de
es y(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 ) y0 .
y(t0 ) = y0
Soluci´
on general de (sh):

∂F (t, y)
∂F (t, y)
= P (t, y) y
= Q(t, y) =⇒ F (t, y) = c es una soluci´on general impl´ıcita.
∂t
∂y
Criterio de exactitud
(P, Q ∈ C 1 )

(sh) , con A(t) matriz n × n.

y = A(t) y

=⇒homog´enea.

Polinomio interpolador. Si λ1 , . . . , λk son los autovalores distintos de A con multiplicidades
m1 , . . . , mk y m1 + · · · + mk = n, se calcula un polinomio p(x) de grado n − 1 que verifique
p(λj ) = et λj , p (λj ) = t et λj , . . . , p(mj −1) (λj ) = tmj −1 et λj ,

j = 1, . . . , k

=⇒ etA = p(A) .

Soluciones asociadas a autovectores generalizados:
Ecuaciones de Bernoulli: son de laforma
n = 0, 1. El cambio

z=y

1−n

=⇒

y + a(t) y = b(t) y n con n ∈ R.
ecuaci´on lineal.

Si v es un autovector de A asociado a λ, es decir, v ∈ Ker(A − λIn ) =⇒ y(t) = eλ t v .
Si v es un autovector generalizado asociado a λ, es decir, v ∈ Ker(A − λIn )m

2

Ecuaciones de Riccati: y + a(t) y + b(t) y = c(t) .
Si y0 (t) es una soluci´on particular, el cambio de variable y = y0 (t) +

1

y(t) = eλ tv + t (A − λIn ) v +
1
=⇒ lineal.
z

En particular, m = 2 =⇒

t2
tm−1
(A − λIn )2 v + · · · +
(A − λIn )m−1 v
2!
(m − 1)!

y(t) = eλ t (v + t (A − λIn ) v) .
2

Sistema fundamental de soluciones: Se calcula una base de autovectores generalizados

Ecuaciones homog´
eneas de coeficientes ctes: y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0 (eh) .

v1 , . . . , vn =⇒ las soluciones asociadas {y1 (t), . ....