formulario ecuaciones diferenciales

Facultad de Ingeniería
Curso: Ecuaciones Diferenciales

RESUMEN SOLUCIÓN EN SERIE
DE POTENCIAS

Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

2.- PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS
SINGULARES
Para laecuación del tipo:

1.- SERIES DE POTENCIAS
Una serie de potencias en un punto x0 es una expresión
de la forma:


a
n 0

( x  x 0 ) (*)

a 2 ( x) y' 'a1 ( x) y'a0 ( x) y  0 (1)Escrita en su forma normal:

y' ' P( x) y'Q( x) y  0 (2)

n

n

1.1.- TEOREMA 1: CONVERGENCIA DE SERIES DE
POTENCIAS

Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuación
(2) si P(x) y Q(x)son analíticas en x0
Un punto que no es ordinario es un punto singular

PUNTOS SINGULARES REGULARES E
IRREGULARES

Para determinar el radio de convergencia R, un método
que a menudo resultafácil es el criterio del cuociente:

a n 1
1
LR
n  a
L
n
a
Observación: Si lim n 1 no existe, se deben
n  a
n
emplear
otros métodos para calcular R, ejemplo el criterio de la
raíz.(

Regular

lim

(
Irregular

) ( )

)

( )

No regular

Si x0 es un punto singular regular de (1), se calcula la
ecuación indicial:

r (r  1)  P0 r  Q0  0

(i) Si L>0 R>0 y la serie (*) converge absolutamente
para x  x 0  R

Donde:

Es decir se cumple:

P0  lím ( x  x0 ) P( x)



f ( x)   a n ( x  x 0 ) n
n 0

Q0  lím ( x  x0 ) 2 Q( x)

x x0

 x0  R  x  x0  R

x  x0

*Las raíces de la ecuación indicial se llaman exponentes
o índices de la singularidad x0

Entonces f(x) es infinitamente diferenciable
 x0  R  x  x0 R y podemos obtener sus
derivadas derivando término a término en la serie de
potencias.
Además, el radio de convergencia de esta nueva serie de
potencias es también R.
También se tiene:

a n (x  x 0 ) n 1
c

n 1
n 0
x0  R  x  x0  R


f ( x)dx  

3.- SOLUCIÓN EN TORNO A UN PUNTO
ORDINARIO
Si x0 es un punto ordinario de (1), entonces se tiene 2
soliciones...