Formulario EstadI 2013 Reducido

Formulario de Estad´ıstica I
Tema 1 Consideramos una muestra de tama˜no n de una variable X. Sean x1 , x2 , . . . , xk , k ≤ n, los
diferentes valores que ha tomado esta variable sobre los n individuos de la muestra. Si X es cuantitativa o
categ´orica ordinal, supondremos que tenemos los valores ordenados de manera que x1 < x2 < . . . < xk .
• Se denota por ni la frecuencia absoluta del valor xi. Se cumple que

k
i=1 ni

= n.

• Se define la frecuencia relativa del valor xi como fi = ni /n. Se verifica que ki=1 fi = 1.
• Se define la frecuencia absoluta acumulada del valor xi como Ni = ij=1 nj .
• Se define la frecuencia relativa acumulada del valor xi como Fi = Ni /n. Se cumple que Fi =
i
j=1 fj .
• Cuando los datos est´an agrupados en intervalos de clase, llamamos li−1 y li a losextremos inferior
y superior, respectivamente, del intervalo i-´esimo.
• La longitud o amplitud del intervalo i-´esimo es Li = li − li−1 .
• La marca de clase del intervalo i-´esimo es xi = li +l2i−1 .

Tema 2 Las f´ormulas de las siguientes medidas num´ericas est´an expresadas considerando la muestra original, es decir, los n valores observados para X son x1 , x2 , . . . , xn . La muestra ordenada sedenota por
x(1) , x(2) , . . . , x(n) .
Medidas de centralizaci´
on o de tendencia central:
n
1
i=1 xi .
n
1
n + x n
(x
(
)
( 2 +1) ),
2
2

• Media aritm´etica: x =
• Mediana:

Me =

x( n+1 ) ,
2

si n es par,
si n es impar.

la
la
la
la
la

frecuencia
frecuencia
frecuencia
frecuencia
frecuencia

relativa del par (xi , yj ) como fij = nij /n.
absoluta marginal del valor xi como ni• = m
j=1 nij .relativa marginal del valor xi como fi• = ni• /n.
absoluta marginal del valor yj como n•j = ki=1 nij .
relativa marginal del valor yj como f•j = n•j /n.

Caracter´ısticas num´
ericas conjuntas para tablas de doble entrada.
Sean (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) los n pares de valores observados para (X, Y ). Entonces:
• Covarianza:

sxy =

1
n−1

n
i=1

(xi − x) (yi − y) =

• Coeficientede correlaci´on lineal de Pearson:

1
n−1

r(x,y) =

n
i=1
sxy

xi yi − nx y

sx sy

Tema 4 Sea Ω el espacio muestral asociado a cierto experimento aleatorio, B1 , . . . , Bk una partici´on de Ω,
tal que P (Bi ) = 0 para i = 1, . . . , k y A un suceso cualquiera.
• Ley de la probabilidad total:
P (A) = P (A ∩ B1 ) + . . . + P (A ∩ Bk ) = P (A|B1 ) P (B1 ) + . . . + P (A|Bk ) P (Bk ).

Medidas dedispersi´
on o de variabilidad:
• Rango o amplitud: R = xmax − xmin .
• Rango intercuart´ılico: RIC = Q3 − Q1 .
• Varianza muestral: σ
ˆ 2 = n1 ni=1 (xi − x)2 =

P (A|Bj ) P (Bj )
P (Bj ∩ A)
=
,
P (A)
P (A|B1 ) P (B1 ) + . . . + P (A|Bk ) P (Bk )

para j = 1, . . . , k.

Esperanza y varianza de una variable aleatoria.
Sea X una v.a. que toma valores en un conjunto S. La esperanza y varianza de X sedefinen como:


x P (X = x), si X es una v.a. discreta,


x∈S
E(X) =


x f (x) dx,
si X es una v.a. continua.


• Cuartiles: Qk = x(k(n+1)/4) para k = 1, 2, 3.
• Percentiles: Pk = x(k(n+1)/100) para k = 1, 2, . . . , 99.

S

1
n

n
2
i=1 xi

√
• Desviaci´on t´ıpica (o est´andar) muestral: σ
ˆ= σ
ˆ2.
n
1
2
• Cuasivarianza muestral: s = n−1 i=1 (xi − x)2 =
√
• Cuasidesviaci´on t´ıpicamuestral: s = s2 .
• Coeficiente de variaci´on de Pearson: CV = s/|x|.

− nx2 .

1
n−1

n
2
i=1 xi

var(X) =
− nx2 .

i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , m, sobre los n individuos de una muestra. Supondremos que los datos est´an ordenados
de manera que x1 < x2 < . . . < xk , y1 < y2 < . . . < ym , a menos que las variables sean categ´oricas nominales.
Tabla 1: Estructura de la tabla de doble entrada / tablade contingencias
...
...
...
..
.
...
..
.
...
...

yj
n1j
n2j
..
.
nij
..
.
nkj
n•j









x∈S
S

(x − E(X))2 P (X = x), si X es una v.a. discreta,

(x − E(X))2 f (x) dx,

si X es una v.a. continua.

Algunos modelos de probabilidad.

Tema 3 Sea (X, Y ) una variable bidimensional que puede tomar k × m pares de valores diferentes (xi , yj ),

y2
n12
n22
..
.
ni2
..
.
nk2
n•2

define...