Formulario Fis 132

⃗⃗, 𝐶⃗ vectores y 𝑚, 𝑙, 𝑛 ∈ ℝ
Sean 𝐴⃗, 𝐵

Análisis Vectorial:
Modulo del vector: 𝐴 = |𝐴⃗| = ‖𝐴⃗‖
𝐴2 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2
Cosenos directores:
cos ∝ =

𝐴𝑥
𝐴

, cos 𝛽 =

𝐴𝑦
𝐴

, cos 𝛿 =

𝐴𝑧
𝐴

⃗⃗
Sumade vectores: 𝑆⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
𝐴⃗ = 𝐴𝑥𝑖̂ + 𝐴𝑦𝑗̂ + 𝐴𝑧𝑘̂
⃗⃗ = 𝐵𝑥𝑖̂ + 𝐵𝑦𝑗̂ + 𝐵𝑧𝑘̂
𝐵
Método de las componentes:
𝑆⃗ = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥, 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦, 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧)
𝑆⃗ = (𝑆𝑥, 𝑆𝑦, 𝑆𝑧)

⃗⃗ = 𝐵
⃗⃗ + 𝐴⃗
𝐴⃗ + 𝐵
⃗
⃗⃗
⃗⃗
𝑚(𝐴 + 𝐵 ) = 𝑚𝐴⃗ +𝑚𝐵
⃗⃗ = 𝐵
⃗⃗ ∘ 𝐴⃗
𝐴⃗ ∘ 𝐵
⃗
⃗
𝐴 ∘ 𝐴 = 𝐴2
0 𝑠𝑖 𝑖̂ ≠ 𝑗̂
e) 𝑒𝑖
̂ 𝑜 𝑒𝑗
̂ =
𝑖 𝑠𝑖 𝑖̂ = 𝑗̂
⃗⃗=-𝐵
⃗⃗𝑋𝐴⃗
f) 𝐴⃗𝑋𝐵
𝑖̂
𝑗̂
𝑘̂
⃗⃗ = |𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 |
g) 𝐴⃗𝑋𝐵
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
⃗⃗𝑋𝐶⃗) = 𝐵
⃗⃗ ∘ 𝐶⃗𝑋𝐴⃗ = 𝐶⃗ ∘ 𝐴⃗𝑋𝐵
⃗⃗
h) 𝐴⃗ ∘ (𝐵
⃗
⃗⃗i) Área del paralelogramo: |𝐴𝑋𝐵 |
⃗⃗𝑋𝐶⃗)|
j) Área del volumen: |𝐴⃗ ∘ (𝐵
a)
b)
c)
d)

Operador diferencial NABLA

Su módulo es:

𝜕 𝜕 𝜕
⃗⃗= (
∇
,
, )
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑆 2 = 𝑆𝑥 2 + 𝑆𝑦 2 + 𝑆𝑧 2

Gradiente:

⃗⃗Resta de vectores: 𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ − 𝐵

⃗⃗𝜑 =
∇

⃗⃗)
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + (−𝐵
Por el método de las componentes:
𝑅⃗⃗ = (𝐴𝑥 − 𝐵𝑥, 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦, 𝐴𝑧 − 𝐵𝑧)

Vector Dirección
𝐴⃗ = 𝐴 ∗ 𝐴̂

Producto escalar de vectores: (Escalar)⃗⃗ = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
𝐴⃗ ∘ 𝐵
⃗⃗ = 𝐴𝐵 cos 𝜃
𝐴⃗ ∘ 𝐵

⃗⃗
𝐴⃗ ∘ 𝐵
|𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐴⃗| =
𝐵
Producto vectorial:
⃗⃗ 𝑒𝑠 ⊥ 𝐴
𝐴⃗𝑋𝐵
⃗
⃗⃗ 𝑒𝑠 ⊥ 𝐵
𝐴𝑋𝐵
⃗⃗| = 𝐴𝐵 sin 𝜃
|𝐴⃗𝑋𝐵

Propiedades:

Divergencia:
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧
𝑖̂ +
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑧

⃗⃗⃗⃗𝑒𝑠 𝑆𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙
𝑆𝑖 ⃗∇⃗ ∘ 𝐴⃗ = 0 → 𝐴
Rotacional de 𝐴⃗:

a)

⃗∇⃗𝑋𝐴⃗ = |

𝑘̂

𝑖̂

𝑗̂

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧

|

𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
⃗⃗𝑋𝐴⃗ = 0 entonces 𝐴⃗ es irrotacional
b) Si ∇
Laplaciano de 𝜑:

Vector proyección:i.
ii.
iii.

⃗⃗𝜑 ∘ 𝑑r⃗
𝑑𝜑 = ∇

⃗⃗ ∘ 𝐴⃗ =
∇

𝑅⃗⃗ = (𝑅𝑥, 𝑅𝑦, 𝑅𝑧)
Vector unitario
𝐴⃗
𝐴̂ =
𝐴

𝜕𝜑
𝜕𝜑
𝜕𝜑
𝑖̂ +
𝑗̂ +
𝑘̂
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧

⃗⃗
𝐴⃗ ∘ 𝐵
⃗⃗
𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵 𝐴⃗ =
∗𝐵
𝐵2

∇2 𝜑 =

𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 𝜕2𝜑
+ 2+ 2
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦
𝜕𝑧

Operadoresdiferenciales en coordenadas
generalizadas:
Si (𝑒̂1 , 𝑒̂2 , 𝑒̂3 ) son vectores unitarios direccionales
de las coordenadas (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) con factores de
escala (ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 )

Luego se define 𝜑 =𝜑(ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 ) y 𝐴⃗ =
𝐴⃗(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
1

i.

⃗⃗𝜑 =
∇

ii.

⃗∇⃗ ∘ 𝐴⃗ =
𝜕
𝜕𝑢2

iii.

iv.

𝜕𝜑

ℎ1 𝜕𝑢1
1

(ℎ1 𝐴2 ℎ3 ) +

(

𝜕𝜑

𝑒̂2 +

ℎ2 𝜕𝑢2

𝜕
𝜕𝑢1
𝜕

𝜕𝑢3

𝜕

𝜕

𝜕𝑢1

𝜕𝑢2

𝜕𝑢3

ℎ1 𝐴1

ℎ2...