Formulario Variable Compleja

FORMULARIO DE VARIABLE COMPLEJA
i0=1
i1=i
i2=-1
i3=-i
1i=-i
i14=-1
TRIGONOMETRIA.
sinθ=COHIP cscθ=1sinθ
cosθ=CAHIP secθ=1cosθ
tanθ=sinθcosθ=COCA cotθ=1tanθ
RADIANES=π180*(GRADOS)
GRADOS=180π*(RADIANES)



tan-113=π6
tan-11=π4
tan-13=π3
sin-θ=-sinθ
cos-θ=cosθ
tan-θ=-tanθ
PROPIEDADES DE CONJUFADOS
z+z=x+iy+x-iy=2x=2Rezz-z=x+iy-x+iy=2iy=2uImz
z∙z=x+iyx-iy=x2-iyx+iyx-i2y2=x2+y2
ARGUMENTOS EXACTOS.
Arg z= -π≤0≤π
Arg z= tan-1yx si x>0
Arg z= π+tan-1yx, si x<0 y>0
Arg z= -π+tan-1yx, si x<0 y <0
PROPIEDADES DE LOS COMPLEJOS.
22=12
22=2
1+i=2
n∟π2=ni
n∟-π2=-ni
zz=Re
z=-b+ib2-4ac2a
Obtener figura del dominio y ver si esta definida
i=22+22i
-i=22-22i

NUMERO COMPLEJO POR CONJUGADOzz=a+iba-ib
=a2+b2+i-ab+ab
=a2+b2
z=a+ib
a=Rez
b=Imz
wz=wzzz
1a+ib=aa2+b2-iba2+b2
MODULO
z=x2+y2
PRODUCTO DE UN NÚMERO COMPLEJO POR SU CONJUGADO.
ZZ=Z2=Z2
z=z
UBICACIONES EN EL PLANO COMPLEJO
CUADRANTE I
z=x+iy
CUADRANTE II
-z=-x+iy
CUADRANTE III
-z=-x-iy
CUADRANTE IV
z=x-iy
REPRESENTACION POLAR.
r=x2+y2
θ=tan-1yx
z=r(cosθ+isinθ)
MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOSz1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1
DIVICION DE NUMEROS COMPLEJOS
z1z2=x1x2+y1y2x22+y22+i-x1y2+x2y1x22+y22

MULTIPLICACION FORMA POLAR
z1z2=r1cosθ1+sinθ1r2cosθ2+sinθ2
z1z2=r1r2cosθ1+θ2+isinθ1+θ2
z1z2=r1r2∟θ1+θ2
MODULO INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO.
1z=1r∟θ=1r∟-θ
MODULO DEL COCIENTE DE DOS NUMEROS COMPLEJOS.
z1z2=r1∟θ11r2∟θ2=r1r2∟θ1-θ2
POTENCIAS ENTERAS
z1n=r1n∠θ+2πkn k=0,1,2,n-1.
POTENCIASRACIONALES.
zmn=rmn∠mθ+2πkn
k=0,1,2,n-1
FORMULA DE DEMOIRE.
zn=r∠θn=rn∠nθ
donde:zn=cosnθ+isinnθ
OTRA FORMA DE DEMOIRE.
cos2θ=cos2θ-sin2θ
sin2θ=2sinθcosθ
LUGARES GEOMETRICOS.
* RECTAS
Rez=n ⟹ x=n
Imz=n ⇒ y=n
Algebra de lugares geométrico.
1. Imiz=n
Imix+iy=n
Im-y+ix=n
x=n
2.Re iz=n
-y=n
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
D=x2-x12+y2-y12
=z2-z1=z1-z2
*CIRCUNFERENCIAS.
CENTRADAS.
z=R
donde:R2=x2+y2
NO CENTRADAS
COORDENADAS:Cz0
Cx0,y0
z-z0=r
RECTA
Rez≤Imz →x≤y
z±i>n


z±Re<m

n<z<m n<z≤m

Rez≤ Imz y≥x

Propiedades de conjugados
z+z=x+iy+x-iy=2x=2Rez
z-z=x+iy-x+iy=2iy=2iImz
z∙z=x+iyx-iy=x2+y2
(r∟n)m=rm∟m∙nz1m=mrcosθm+2kπm+isinθm+2kπm=mr∟θm+2kπm
znm=mrncosnθm+2knπm+isinnθm+2knπm=mrn ∟nθm+2knπm
SEPARACION ANGULAR w=2πm=360m

POCISION
-x-y→-π+___
x-y→se queda igual
-x+y→π+___
x+y→se queda=_
LIMITES CONTINUIDAD Y DERIVADAS.
f'z=lim∆z→0∆f∆z=limz→z0fz+∆z-fzz-z0
Por medio de L’Hopital.
fz=z
z=x+iy
fz=u+iv=x-iy
∆f=∆u+i∆v=∆x-i∆y
1 f'z=lim∆z→0∆x-i∆y∆x+i∆y=lim∆x=0∆y→0-i∆yi∆y=-1
2 f'z=lim∆z→0∆x+i∆y∆x+i∆y=
lim∆x→0∆y=0i∆xi∆x=1
1≠2 no existe en fz=z
CALCLAR VALOR DEL LÍMITE
limZ→Z0g(z)h(z)=g'(z)h'(z)=g'(Zo)h'(Zo)
ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMMAN.
∂u∂x=∂v∂y
∂v∂x=-∂u∂y
FUNCIONES ANALITICAS.
fx,y=u+iy
Evaluar:
∂u∂x=∂v∂y
Después para definir punto y existencia;
f'x,y → u=v
FUNCIONES ARMONICAS.
Sea fz=ux,y+ivx,y
Si es analítica o no analítica.∂u∂x=∂v∂y
∂v∂x=-∂u∂y
Para satisfacer la ecuación de Laplace, y que u(x,y) sea armónica.
∂2u∂x2=∂∂x∂v∂y
∂2u∂y2=-∂∂y∂v∂x

Al hacer el análisis, al cumplirse las siguientes condiciones.
∂2u∂x2+∂2u∂y2=0
∂2v∂x2+∂2v∂y2=0
FORMA POLAR
Ej. rcosθ+ir
∂u∂r=1r∂v∂θ
∂v∂r=-1r∂u∂θ
FUNCIONES ARMONICAS CONJUGADAS.
Para Re(z) se toma u, y para Im(z) se toma v.
∂u∂x=∂v∂y
∂v∂x=-∂u∂y
1. Refz Real
∂u∂x=RefzIgualando.
Refz=∂v∂y

Integrando.
v=∂v∂y dy=v+gx
Derivando con respecto de la nueva función.
∂v∂x=v'+g'(x)
Derivando u con respecto a y.
Refz=-∂u∂y
Igualando.
-∂u∂y=v'+g'x
g'x=∂u∂y-v'
Integrando g'x.
gx=(∂u∂y-v') dx
Función más general.
fz=u+i(gx)
2. Imf(z) imaginario
∂v∂y=Imfz
Igualando.
Imfz=∂u∂x
Integrando.
u=∂u∂x dx=u+gy
Derivando con respecto de la nueva...