Formulario

Formulario de Prec´lculo. a
1. Los N´ meros. u
Los n´meros se clasifican como: u a) Naturales: N = {1, 2, 3, . . . ∞} Z = {−∞ . . . , −2, −1, 0, 1, 2 . . . ∞} = {0, ±1, ±2, ±3, . . . ± ∞} Z+ = {0, 1, 2, 3, . . . ∞} 1. Clasificaci´n de los n´ meros. o u

1 • Sea a = 0, entonces, a−1 = a es el Inverso Multiplicativo o Rec´ ıproco de a: −1 −1 aa = a a = 1

Al multiplicar a con su rec´ ıproco a−1obtenemos la identidad multiplicativa. 3) Ley Distributiva: a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + bc b) Los n´meros reales tienen un orden. u Comenzamos con cinco relaciones de orden definidas sobre los reales. 1) 2) 3) 4) 5) La La La La La relaci´n o relaci´n o relaci´n o relaci´n o relaci´n o < > ≤ ≥ = menor que. mayor que. menor o igual que. mayor o igual que. de igualdad.

b) Enteros:

c)Racionales: Q = { a : a, b ∈ Z y b = 0} b Propiedades de los racionales: 1) Si a se escribe en forma decimal, entonces, su b 5 parte decimal es finita. 10 = 0.5 2) Si a se escribe en forma decimal, entonces, su b parte decimal es peri´dica. 10 = 3.3 o 3 d) Irracionales: I = {x : x es un n´mero con parte u decimal infinita y no peri´dica } o e) Reales: Se representan con R y es cualquiera de n´merosanteriores. Se cumple: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, u I ⊂ R y Q ∩ I = ∅. R = Q ∪ I. R Q Z N

Decimos que: 1) a < b y b > a significan lo mismo, es decir, b − a es un n´mero positivo y distinto de cero. u 2) a ≤ b y b ≥ a significan lo mismo, es decir, b − a es un n´mero positivo o es cero. u • LEY DE TRICOTOM´ Si a y b son n´meros reales, IA: u entonces: a < b o a = b o a > b • Para las cinco relaciones de ordense cumplen las siguientes propiedades: 1) Transitiva: Si a < b y Si a > b y Si a ≤ b y Si a ≥ b y Si a = b y 2) Aditiva: Si a < b Si a > b Si a ≤ b Si a ≥ b Si a = b Sean a, b, c ∈ R, entonces: b < c ⇒ a < c. b > c ⇒ a > c. b ≤ c ⇒ a ≤ c. b ≥ c ⇒ a ≥ c. b = c ⇒ a = c.

I

2. Propiedades de los n´ meros reales. u a) Los reales son un Campo. Porque se cumplen las propiedades: 1) Bajo la suma: •La suma es conmutativa: a+b=b+a • La suma es asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c • La Identidad Aditiva o Neutro Aditivo es el cero: a+0=0+a=a • −a es el Inverso Aditivo de a: a + (−a) = −a + a = 0 Al sumar a con su inverso aditivo −a se obtiene el neutro aditivo. ´ 2) Bajo la Multiplicacion: • La multiplicaci´n es conmutativa: o ab = ba • La multiplicaci´n es asociativa: o a(bc) = (ab)c • LaIdentidad Multiplicativa es el 1: a1 = 1a = a 1

Sean a, b, c ∈ R, entonces: ⇒ a + c < b + c. ⇒ a + c > b + c. ⇒ a + c ≤ b + c. ⇒ a + c ≥ b + c. ⇒ a + c = b + c.

3) Multiplicativa: ⋆ Para la Igualdad. Para cualquier c ∈ R: Si a = b ⇒ ac = bc. ⋆ Para las Desigualdades. Caso 1. Sea c > 0, entonces: Si a < b ⇒ ac < bc. Si a > b ⇒ ac > bc. Si a ≤ b ⇒ ac ≤ bc. Si a ≥ b ⇒ ac ≥ bc. Caso 2. Si a < bSi a > b Si a ≤ b Si a ≥ b Sea c < 0, entonces: ⇒ ac > bc. ⇒ ac < bc. ⇒ ac ≥ bc. ⇒ ac ≤ bc.

3. Valor Absoluto. Para cualquier n´mero real a, se define u como: a, si a ≥ 0, |a| = −a, si a < 0. Sean a, b ∈ R, se cumple que: a) | − a| = |a| b) |ab| = |a||b| a |a| c) = b |b|

8. Factores Notables. b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x− y) c) Diferencia de Cubos: x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 )

d) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 2xy +y 2 = (x y)2 e) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2 f ) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4

h) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 i) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 Desigualdad del Tri´ngulo. a −b < a < b a>b o a < −b j) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 9. Leyes de loslogaritmos. a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q) b) loga P Q = loga (P ) − loga (Q)

g) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4

d) |an | = |a|n e) |a + b| ≤ |a| + |b| f ) Si |a| < b g) Si |a| > b ⇒ ⇒

x2 + 2 xy + 2 y 2

x2 − xy + y 2

x2 − xy + y 2

4. Propiedades de Desigualdades. Si 0 < a < b, se cumple: 1 1 a) > >0 a b b) 0 < a < b
2 2

√ √ c) 0 < a < b

c) loga...