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´
Indice general
1. Extremos de funciones

2

2. Parametrizaci´n, Triedro de Frenet
o

21

3. Coordenadas curvil´
ıneas

34

4. Integrales de trayectoria y de l´
ınea

41

5. Integrales Iteradas

50

6. Teoremas Integrales

57

1

Cap´
ıtulo 1

Extremos de funciones
1. Sea f (x, y ) = Ax2 + B con A = 0. ¿Cu´les son los puntos cr´
a
ıticos de f ?
¿Son m´ximoslocales o m´
a
ınimos locales?
Soluci´n. Los puntos cr´
o
ıticos son aquellos en los que las derivadas parciales son iguales a cero:
∂f
= 2Ax = 0
∂x
∂f
= 0.
∂y
De donde x = 0. Como no hay condici´n sobre y , los puntos cr´
o
ıticos son
entonces los de coordenadas (0, y ), es decir, el eje y .
El discriminante es 0, por lo que el criterio de la segunda derivada no
ayuda en estecaso. Sin embargo, es f´cil ver que si A > 0, la funci´n
a
o
g (x) = Ax2 tiene su m´
ınimo en x = 0, por lo que los puntos cr´
ıticos
corresponden a m´
ınimos locales en este caso. De igual manera, si A < 0,
los puntos cr´
ıticos corresponden a m´ximos locales.
a
2. Sea f (x, y ) = x2 − 2xy + y 2 . Aqu´ el discriminante es igual a cero. ¿Qu´ son
ı
e
los puntos cr´
ıticos: m´
ınimoslocales, m´ximos locales o puntos silla?
a
Soluci´n. Los puntos cr´
o
ıticos son aquellos en los que las derivadas parciales son iguales a cero:
∂f
= 2x − 2y = 0 ⇒ x = y
∂x
∂f
= −2x + 2y = 0 ⇒ x = y.
∂y
Entonces los puntos cr´
ıticos tienen coordenadas (a, a). La funci´n se puede
o
escribir como f (x, y ) = x2 − 2xy + y 2 = (x − y )2 , que en los puntos cr´
ıticos
es igual a 0: elmenor valor posible para un cuadrado de valores reales;
por lo tanto, los puntos cr´
ıticos son m´
ınimos locales.
2

Si el criterio de la
segunda derivada no decide, no
significa que no
se pueda encontrar la naturaleza de un punto
cr´
ıtico por otros
medios.

3. Dada la funci´n f (x, y ) = y arctan(x), encuentra sus puntos cr´
o
ıticos y
determina la naturaleza de cada uno deellos.
[Primer Examen Final “B” 2005-1 Problema 1]

Soluci´n. Las condiciones para que un punto sea cr´
o
ıtico son:
∂f
= arctan(x) = 0 ⇒ x = 0
∂y
∂f
y
⇒ y = 0.
=
∂x
1 + x2
Por lo que el unico punto cr´
´
ıtico es el origen. Adem´s, fyy = 0 y fxy =
a
por lo que
D=

∂2f
∂y 2

∂2f
∂x2

∂2f
∂x ∂y

−

2

=−

1
1 + x2

1
1+x2

2

< 0,

en (0, 0). Entonces, (0,0) es el unico punto cr´
´
ıtico y es un punto silla.
4. Determina la naturaleza de los puntos cr´
ıticos de la funci´n f (x, y ) = e6xy .
o
[Primer Examen Parcial “A” 2005-1 Problema 1]

Soluci´n. En los puntos cr´
o
ıticos, las primeras derivadas parciales son cero:
fx = 6ye6xy = 0
fy = 6xe6xy = 0.
Como e6xy = 0 para cualesquiera valores de x y de y , la unica soluci´n al
´
osistema es cuando x = y = 0. Las segundas derivadas son:
fxx = 36y 2 e6xy
fyy = 36x2 e6xy
fxy = 36xye6xy + 6e6xy .
El valor del discriminante en el origen es D = 0 · 0 − 62 = −36 < 0. Por lo
tanto, el origen es el unico punto cr´
´
ıtico y es un punto silla.
5. Determina la naturaleza de los puntos cr´
ıticos de la funci´n f (x, y ) =
o
x3 + y 3 − 3xy .
[Primer Examen Parcial “A” 2004-2Problema 1]

Soluci´n. Al igualar la primeras derivadas a cero, obtenemos que:
o
fx = 3x2 − 3y = 0
fy = 3y 2 − 3x = 0

⇒

x2 = y
y2 = x

de donde x4 = x ⇒ x(x3 − 1) = 0, que tiene como soluciones reales a 0 y
1, de manera que hay dos puntos cr´
ıticos: P1 (0, 0) y P2 (1, 1). Las segundas
3

derivadas son fxx = 6x, fyy = 6y y fxy = −3. El valor del discriminante
en cada punto cr´ıtico es D1 = −9 y D2 = 36 − 9 = 27, respectivamente,
por lo que P1 es un punto silla mientras que P2 es un m´
ınimo debido a que
fxx > 0 en P2 . Es util ver los puntos cr´
´
ıticos en la gr´fica de la funci´n,
a
o
que se muestra en la Fig. 1.1.

Figura 1.1 Gr´fica de f (x, y ) = x3 + y 3 − 3xy y sus curvas de nivel
a

6. En los siguientes ejercicios, encuentra los puntos cr´...