Formulario
Páginas: 4 (831 palabras)
Publicado: 22 de abril de 2013
1
Integrales dobles en coordenadas polares
Suponga que R es una región acotada por las grá…cas de las ecuaciones polares
r = g1 ( ), r = g2 ( ) y los rayos =
y = , y que f es una funcióncontinua de r y sobre R. Con el …n de de…nir la integral doble de f sobre R,
empleamos rayos y círculos concéntricos para dividir la región en una retícula
de “rectángulos polares” o subregiones RkEl áres
Ak de la región polar es la diferencia de dos sectores circulares1
1
(rk+1 + rk ) (rk+1
2
Ak =
rk )
k
=r
rk
k
Eligiendo un punto muestra (rk ; k ) en cada Rk , laintegral doble de f sobre R
es
ZZ
n
X
lim
f (rk ; k ) r rk k =
f (r; ) dA
kP k!0
R
k=1
La integral doble se evalúa entonces por medio de la integral iterada
ZZ
f (r; ) dA =
R1 El
Z
Z
g2 ( )
f (r; ) rdrd
g1 ( )
área de un sector circular está dada por
A=
donde es el radio medio,
circular
w
radianes es el ángulo comprendido y w es la anchura delsector
1
o bien por medio de la integral iterada
ZZ
f (r; ) dA =
R
Z
b
Z
h2 (r)
f (r; ) rdrd
h1 (r)
a
Exercise 1 Sea R la región anular comprendida entre loscírculos x2 + y 2 = 1
RR
y x2 + y 2 = 5. Calcule la integral R x2 + y dA
Solution 2 La región desrita es la siguiente
Las fronteras polares son
1
0
r
p
5
2
usando que
x = r cos ( )y = r sin ( )
2
la integral iterada queda
ZZ
Z
2
x + y dA =
R
2
0
=
Z
1
2
Z
p
5
r2 cos2 ( ) + r sin ( ) rdrd
p
5
r3 cos2 ( ) + r2 sin ( ) drd
10
Z
Z
2
p
5
1 4
1
=
r cos2 ( ) + r3 sin ( )
d
4
3
0
1
p
Z 2
5 5 1
2
=
6 cos ( ) +
sin ( ) d
3
0
R
usando la identidad cos2 (u) = 1 cos (2u) + 1 se tiene que cos2(u) du =
2
2
1
1
4 sin (2u) + 2 u + C de donde
"
#2
p
p
Z 2
5 5 1
3
5 5 1
sin ( ) d =
sin (2 ) + 3
cos ( )
6 cos2 ( ) +
3
2
3
0
0
=6
por tanto,
ZZ
x2 + y dA = 6
R...
Integrales dobles en coordenadas polares
Suponga que R es una región acotada por las grá…cas de las ecuaciones polares
r = g1 ( ), r = g2 ( ) y los rayos =
y = , y que f es una funcióncontinua de r y sobre R. Con el …n de de…nir la integral doble de f sobre R,
empleamos rayos y círculos concéntricos para dividir la región en una retícula
de “rectángulos polares” o subregiones RkEl áres
Ak de la región polar es la diferencia de dos sectores circulares1
1
(rk+1 + rk ) (rk+1
2
Ak =
rk )
k
=r
rk
k
Eligiendo un punto muestra (rk ; k ) en cada Rk , laintegral doble de f sobre R
es
ZZ
n
X
lim
f (rk ; k ) r rk k =
f (r; ) dA
kP k!0
R
k=1
La integral doble se evalúa entonces por medio de la integral iterada
ZZ
f (r; ) dA =
R1 El
Z
Z
g2 ( )
f (r; ) rdrd
g1 ( )
área de un sector circular está dada por
A=
donde es el radio medio,
circular
w
radianes es el ángulo comprendido y w es la anchura delsector
1
o bien por medio de la integral iterada
ZZ
f (r; ) dA =
R
Z
b
Z
h2 (r)
f (r; ) rdrd
h1 (r)
a
Exercise 1 Sea R la región anular comprendida entre loscírculos x2 + y 2 = 1
RR
y x2 + y 2 = 5. Calcule la integral R x2 + y dA
Solution 2 La región desrita es la siguiente
Las fronteras polares son
1
0
r
p
5
2
usando que
x = r cos ( )y = r sin ( )
2
la integral iterada queda
ZZ
Z
2
x + y dA =
R
2
0
=
Z
1
2
Z
p
5
r2 cos2 ( ) + r sin ( ) rdrd
p
5
r3 cos2 ( ) + r2 sin ( ) drd
10
Z
Z
2
p
5
1 4
1
=
r cos2 ( ) + r3 sin ( )
d
4
3
0
1
p
Z 2
5 5 1
2
=
6 cos ( ) +
sin ( ) d
3
0
R
usando la identidad cos2 (u) = 1 cos (2u) + 1 se tiene que cos2(u) du =
2
2
1
1
4 sin (2u) + 2 u + C de donde
"
#2
p
p
Z 2
5 5 1
3
5 5 1
sin ( ) d =
sin (2 ) + 3
cos ( )
6 cos2 ( ) +
3
2
3
0
0
=6
por tanto,
ZZ
x2 + y dA = 6
R...
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