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CAPÍTULO 10

MOMENTOS DE INERCIA

Radio de giro. En ocasiones, el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje específico se reporta en los manuales mediante el radio de giro k. Este valor tiene unidades de longitud, y cuando
se conoce junto con la masa m del cuerpo, el momento de inercia se
puede determinar a partir de la ecuación

)  MK2 o K 

)
M(10-16)

Cuerpos compuestos. Si un cuerpo está construido a partir de
un número de formas simples como discos, esferas y barras, el momento de inercia del cuerpo con respecto a cualquier eje z puede determinarse al sumar algebraicamente los momentos de inercia de todas las
formas componentes calculados con respecto al mismo eje. La suma
algebraica es necesaria ya que una parte componente se debeconsiderar como una cantidad negativa si ya ha sido incluida dentro de otra
parte —como en el caso de un “agujero” sustraído de una placa sólida—.
Además, el teorema de los ejes paralelos es necesario para los cálculos
si el centro de masa de cada parte componente no se encuentra sobre
el eje z. A este respecto, en la tabla que se encuentra en la cubierta
interna de este libro se proporcionan fórmulaspara el momento de
inercia de masa de algunas formas comunes, como discos, esferas y
barras.

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Observe la similitud entre la definición de k en esta fórmula y r en la
ecuación dI ϭ r2 dm, la cual define el momento de inercia de un elemento diferencial de masa dm del cuerpo con respecto a un eje.

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Este volante, que opera un cortador de
metal, tiene un momento grande deinercia con respecto a su centro. Una vez que
comienza a girar es difícil detenerlo y,
por consiguiente, es posible transferir de
manera efectiva un movimiento uniforme
a la hoja cortadora.

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CAPÍTULO 10

MOMENTOS DE INERCIA
y

y
x
(x, y)

y ϭ f(x)
dA

y ϭ f(x)

(x, y)

dy

y
x

dA

y
x

x
dx

(a)

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Fig. 10-4

Procedimiento para el análisis
En la mayoría de los casos, el momento de inercia puede determinarse con una integración simple. El siguiente procedimiento
muestra dos formas en las que se puede hacer esto.

• Si la curva que define la frontera del área se expresa como
y ϭ f (x), entonces seleccione un elemento diferencial rectangular
de modo que tenga una longitud finita y un anchodiferencial.

• El elemento debe estar ubicado de manera que interseque la
curva en el punto arbitrario (x, y).
Caso 1

• Oriente el elemento de forma que su longitud sea paralela al
eje con respecto al cual se calcula el momento de inercia. Esta
situación ocurre cuando el elemento rectangular que se muestra en la figura 10-4a se usa para determinar Ix del área. Aquí,
todo el elemento está a unadistancia y del eje x puesto que
tiene un espesor dy. Así, Ix ϭ 1 y2 dA. Para determinar Iy, el
elemento se orienta de la manera que se muestra en la figura
10-4b. Este elemento se encuentra a la misma distancia x del
eje y de manera que Iy ϭ 1 x2 dA.
Caso 2

• La longitud del elemento puede estar orientada de manera per10

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pendicular al eje con respecto al cual se calculael momento de
inercia; sin embargo, la ecuación 10-1 no es aplicable ya que
todos los puntos del elemento no se encuentran a la misma distancia del brazo de momento desde el eje. Por ejemplo, si el
elemento rectangular de la figura 10-4a se usa para determinar
Iy, primero será necesario calcular el momento de inercia del
elemento con respecto a un eje paralelo al eje y que pase por
el centroidedel elemento, y luego determinar el momento de
inercia del elemento con respecto al eje y por el teorema de los
ejes paralelos. Mediante la integración de este resultado se obtendrá Iy. Vea los ejemplos 10.2 y 10.3.

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10.3 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA

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La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje centroidal )X€. La...