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Formulario

EL-4701 Modelos de Sistemas
Escuela de Ingenier´ıa Electr´onica
Instituto Tecnol´ogico de Costa Rica
Prof.: Dr. Pablo Alvarado Moya
∞

M

1 − αM +1
α =
1−α
n=0
n

αn =
n=0

1
,
1−α

|α| < 1

sen(A ± B) = sen(A) cos(B) ± cos(A) sen(B)
cos(A ± B) = cos(A) cos(B) ∓ sen(A) sen(B)
1
1
sen2 (A) = (1 − cos(2A))
cos2 (A) = (1 + cos(2A))
2
2
1
1
sen(A) sen(B) = (cos(A − B) − cos(A + B)) cos(A)cos(B) = (cos(A − B) + cos(A + B))
2
2
1
sen(A) cos(B) = (sen(A − B) + sen(A + B))
2
A
1
A
1
sen
=
(1 − cos(A))
cos
=
(1 + cos(A))
2
2
2
2
ejω = cos(ω) + j sen(ω)
ejω + e−jω
ejω − e−jω
cos(ω) =
sen(ω) =
2
2j
Descomposici´on en funciones sim´etricas
fe (t) = fe (−t), fo (t) = −fo (−t)
f (t) − f (−t)
fo (t) =
2

f (t) = fe (t) + fo (t),
f (t) + f (−t)
fe (t) =
2

Mapeos
C´ırculo centrado en z0 yradio r:
Recta mediatriz a segmento entre a y b:
Mapeo lineal:
Mapeo de inversi´on:
Mapeo bilineal:

|z − z0 | = r
|z − a| = |z − b|
w = αz + β
w = 1/z
az + b
µ
w=
=λ+
,
cz + d
αz + β
λ = a/c, µ = bc − ad, α = c2 , β = cd

Derivaci´
on compleja
Para f (z = x + jy) = u(x, y) + jv(x, y).
∂u
∂v
∂u
∂v
=
,
=−
∂x
∂y
∂y
∂x
Funciones conjugadas u(x, y) y v(x, y) si cumplen Ec. Cauchy-Riemann.
∂ 2 u(x, y) ∂2 u(x, y)
Funci´on arm´onica:
+
=0
∂x2
∂y 2
Mapeo conforme: ∃f (z), f (z) = 0
Ecuaciones de Cauchy Riemann ∃f (z) ⇔

c 2005-2007 — P. Alvarado

Uso exclusivo ITCR

Versi´
on 30 de enero de 2009

1

Series

∞

an z n : R = l´ım

Radio de convergencia R y raz´on de D’Alambert para

n→∞

n=0

∞

an
an+1

(z − z0 )n (n)
f (z0 )
n!

Serie de Taylor: f (z) =

n=0
∞

cn (z − z0 )n

Serie de Laurent: f(z) =
n=−∞

1
dm−1
Residuo: a−1 =
l´ım
[(z − z0 )m f (z)]
(m − 1)! z→z0 dz m−1
z2
zn
z
+ ...
+ ...
ez
= 1+ +
1! 2!
n!
z3 z5
z 2n+1
sen z = z −
+
− . . . + (−1)n
+ ...
3!
5!
(2n + 1)!
z2 z4
z 2n
cos z
= 1−
+
− . . . + (−1)n
+ ...
2!
4!
(2n)!
∞
(a − z0 )n−1


para |z − z0 | > |a − z0 |


(z − z0 )n
1
n=1
=
∞

z−a
(z − z0 )n


−
para |z − z0 | < |a − z0 |

n+1
(a
−
z
)
0
n=0

; |z| < ∞
; |z|< ∞
; |z| < ∞

Integraci´
on compleja
f (z) dz = 0 si ∃f (z) dentro y sobre C.

Teorema de la integral de Cauchy:
C

F´ormula de la integral de Cauchy:
C

Teorema del residuo:

2πj
f (z)
dz = f (n) (z0 )
n+1
(z − z0 )
n!
n

(i)

f (z) dz = 2πj
C

a−1
i=1

Series de Fourier

b

uk ∗ (t)x(t) dt

Producto interno uk (t), x(t) =
a

∞

ck uk (t) con {uk | k ∈ Z} una base funcional ortogonal, ck ∈ C.x(t) =
k=−∞

uk (t), x(t)
uk (t) 2
Fourier exponencial compleja (para funciones peri´odicas de periodo Tp ).

Generalizada: ck =

∞

ck ejω0 kt

x(t) =

ck =

k=−∞

1
Tp

t0 +Tp

e−jω0 kt x(t) dt

t0

Fourier cosenoidal
∞

x(t) = c0 +

c˜k cos(ω0 kt + θk )

c˜k = 2|ck |, θk = ∠ck , k > 0

k=1

2

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Uso exclusivo ITCR

Versi´
on 30 de enero de 2009

Fourier senoidal
∞

∞1
x(t) = a0 +
ak cos ω0 kt +
bk sen ω0 kt
2
k=1
k=1
ak =

2
Tp

t0 +Tp

x(t) cos ω0 kt dt = 2|ck | cos(θk ) bk =
t0

2
Tp

t0 +Tp

x(t) sen ω0 kt dt = −2|ck | sen(θk )
t0

Propiedades de la Serie de Fourier (periodo Tp , ω0 = 2π/Tp )
Propiedad

Se˜
nal en el tiempo

Coeficientes

Linealidad

x(t)
x1 (t)
x2 (t)
α1 x1 (t) + α2 x2 (t)

ck
c 1k
c 2k
α1 c1k + α2 c2k

Simetr´ıa par

2
ck =
Tp
ck ∈ IRx(t) = x(−t)

Funci´on real
Desplazamiento temporal
Conjugaci´on
Inversi´on en el tiempo
Escalamiento en el tiempo

x(t) ∈ IR
x(t − τ )
x∗ (t)
x(−t)
x(αt), α > 0
x1 (τ )x2 (t − τ ) dτ

Convoluci´on peri´odica

Tp
2

x(t) sen(ω0 kt) dt
0

Tp c1k c2k

Tp

Multiplicaci´on

x(t) cos(ω0 kt) dt
0

2j
ck = −
Tp
ck ∈ jIR
ck = c∗ −k
e−jω0 kτ ck
c∗ −k
c−k
ck

x(t) = −x(−t)

Simetr´ıa impar

Tp
2

∞

x1 (t)x2(t)

c1l c2k−l
l=−∞

dx(t)
dt

Diferenciaci´on

jkω0 ck

t

Integraci´on

x(t) dt, c0 = 0
−∞

Relaci´on de Parseval

c 2005-2007 — P. Alvarado

Uso exclusivo ITCR

1
Tp

ck
jkω0

t0 +Tp

∞

|x(t)|2 dt =
t0

Versi´
on 30 de enero de 2009

|ck |2
k=−∞

3

Transformada de Fourier
∞

x(t)e−jωt dt

Transformada directa: X(jω) =
1
Transformada inversa: x(t) =
2π

−∞
∞

X(jω)ejωt dω
−∞

Algunas...