Formulario1 Mecanica Cuantica I UV
Mecánica Cuántica I (FIS 321)
Licenciatura en Física mención Astronomía - 2011
IPGG
—————————————————————————————————————————————————–
!
b
Contenido : Operadores
y V ectores : kets, bras, ketbras, brackets y notación matricial
—————————————————————————————————————————————————–
1
Espacio vectorial (kets) sobre el cuerpo complejo C
Propiedades de kets : j i
1.1Conmutatividad respecto a la suma:
j i+j i=j i+j i
Asociatividad respecto a la suma:
(j i+j i)+j i=j i+(j i+j i)
Vector nulo jNuloi
j0i, tal que:
El vector opuesto de j i se de…ne como
j i + j0i = j i
=
j i tal que:
= j0i
j i+
Ponderación y distributividad:
( + )( j i + j i ) =
j i+
j i+
Equivalencia en la ponderación:
j i=j
Espacio vectorial dual (bras) : h j
1.2
1.2.1Correspondencia
j i () h j
j i+
j
j i ()
i () h
j=
h j+
h j
h j
1
i
j i+
j i
1.2.2
Relación operacional : Adjuntar
y
(j i) = h j
y
(h j) = j i
1.3
Producto interno o escalar
Producto interno entre j i y j i : h j i.
h j i
0 (Módulo de j i) =) Es cero solo si j i = j0i.
!
D
E
1
p
j i (Normalización del ket =) Vector unitario) =) e e = 1.
h j i
E
e =
h j i = 0 =) Vectores ortogonales.
h
ji=
h j i
h j i =h j i
2
h j
1
1
+
2
2i
=
1
h j
h
1
+
2
2
j i=
1
h
1
1
1i
+
2
h j
j i+
2
h
2
2i
j i
Operadores
2.1
Operadores lineales
b es lineal si cumple lo siguiente:
Cierto operador A
2.2
b(
A
h
j i+
Producto de operadores
i
b B
b =A
bB
b
A;
bA
b
B
n
o
b B
b =A
bB
b +B
bA
b
A;
b j i+ A
bj i
j i)= A
Conmutador
Anticonmutador
Propiedades
i
h
i
h
b B
b=
b A
b
B;
a).- A;
i
i
h
h
i
h
b C
b
b bB
b + cC
b = b A;
b B
b + c A;
b).- A;
h
i
h
i
h
i
b + bB;
b C
b = a A;
b C
b + b B;
b C
b
c).- aA
h
i
h
i h
i
b B
bC
b =B
b A;
b C
b + A;
b B
b C
b
d).- A;
i
i
h
i h
h
b C
b B
b
b B;
b C
b =A
b B;
b C
b + A;
e).- A
ii
ii h h
ii h h
h h
b C;
b A
b =0 1
b A;
b B
b + B;
b B;
b C
b + C;
b
f).- Identidad de Jacobi : A;
2
3
Adjunto de un operador
b y comoel adjunto del operador A.
b
Se de…ne A
3.1
Propiedades
y
( ) =
by
A
bB
b
A
b
B
y
(Si
b
=A
y
y
b yA
by
=B
by
=B
b +B
b
A
D
D
D
3.2
b
A
b
B
b
A
b
B
E
y
E
E
by
B
=
by + B
by
=A
=
D
=
b
A
D
bj i
= B
=h j
E
by
A
by =
B
Hermiticidad
by = A
b
A
by =
A
b y es
Si A
D
a).D
b).-
3.3
es una cantidad escalar)
=
E
D
E
by
A
by
h jB
(Operador hermítico)
b
A
(Operadorantihermítico)
hermítico y j i es un vector arbitrario, entonces:
E
b2
A
0
E D
E
b
b
A
=
A
Casos especiales
b yU
b =U
bU
by
U
bU
by = U
b yU
b =1
b
U
(Operador normal)
(Operador unitario).
bTU
b =U
bU
b T = 1,
b este operador es entonces ortogonal.
– si Uij = Uij , entonces se cumple que U
b invertible =) U
by = U
b
–U
y
bU
b =1
b
–U
1
b y es unitario
–U
b forman un conjunto ortonormal devectores
– Las columnas de U
b forman un conjunto ortonormal de vectores
– Las …las de U
3
b =
P
1
j ih j
h j i
(Operador proyección) ! Dado un vector arbitrario, el operador proyección extrae
1
la componente de este en la dirección unitaria p
j i.
h j i
Kets, Bras y Operadores en términos de una base ortonormal
4
4.1
Vectores y operadores
Sea una base vectorial discreta (recordar quetambién puede ser continua) fjnig ortonormal, entonces:
hn jl i =
nl
Los vectores arbitrarios j i y j i pueden ser descritos cada uno de ellos como una combinación lineal de los
elementos de la base fjnig:
X
X
j i=
an jni
j i=
bn jni
n
n
siendo an = hn j i las componentes del vector j i en cada una de las direcciones jni, de igual manera para bn .
X
y
h j=j i =
an hnj
n
h j i=
h j i=
X
an bnn
X
an an =
n
X
n
2
jan j
b está descrito en términos de esta base como:
Un operador arbitrario A
XX
b =
A
anm jni hmj
D
n
E
m
b m .
siendo anm = n A
4.2
b y Completitud
Operador unidad 1
b j i = j i, etc. Dicho operador es de…nido de la siguiente forma en términos de la
Existe un operador tal que 1
base fjnig:
X
b=
1
jni hnj
(Relación de completitud)
n
4
5
Notación matricial...
Regístrate para leer el documento completo.