Formulario1 Mecanica Cuantica I UV

Páginas: 5 (1226 palabras) Publicado: 11 de mayo de 2015
Resumen de la notación de Dirac
Mecánica Cuántica I (FIS 321)
Licenciatura en Física mención Astronomía - 2011

IPGG

—————————————————————————————————————————————————–
!
b
Contenido : Operadores
y V ectores : kets, bras, ketbras, brackets y notación matricial
—————————————————————————————————————————————————–

1

Espacio vectorial (kets) sobre el cuerpo complejo C
Propiedades de kets : j i

1.1Conmutatividad respecto a la suma:
j i+j i=j i+j i
Asociatividad respecto a la suma:
(j i+j i)+j i=j i+(j i+j i)
Vector nulo jNuloi

j0i, tal que:

El vector opuesto de j i se de…ne como

j i + j0i = j i
=

j i tal que:
= j0i

j i+
Ponderación y distributividad:
( + )( j i + j i ) =

j i+

j i+

Equivalencia en la ponderación:
j i=j

Espacio vectorial dual (bras) : h j

1.2
1.2.1Correspondencia

j i () h j
j i+
j

j i ()

i () h

j=

h j+

h j

h j

1

i

j i+

j i

1.2.2

Relación operacional : Adjuntar
y

(j i) = h j
y

(h j) = j i

1.3

Producto interno o escalar
Producto interno entre j i y j i : h j i.
h j i

0 (Módulo de j i) =) Es cero solo si j i = j0i.
!
D
E
1
p
j i (Normalización del ket =) Vector unitario) =) e e = 1.
h j i

E
e =

h j i = 0 =) Vectores ortogonales.
h

ji=

h j i

h j i =h j i

2

h j

1

1

+

2

2i

=

1

h j

h

1

+

2

2

j i=

1

h

1

1

1i

+

2

h j

j i+

2

h

2

2i

j i

Operadores

2.1

Operadores lineales

b es lineal si cumple lo siguiente:
Cierto operador A

2.2

b(
A

h

j i+

Producto de operadores

i
b B
b =A
bB
b
A;

bA
b
B

n
o
b B
b =A
bB
b +B
bA
b
A;

b j i+ A
bj i
j i)= A

Conmutador
Anticonmutador

Propiedades
i
h
i
h
b B
b=
b A
b
B;
a).- A;
i
i
h
h
i
h
b C
b
b bB
b + cC
b = b A;
b B
b + c A;
b).- A;
h
i
h
i
h
i
b + bB;
b C
b = a A;
b C
b + b B;
b C
b
c).- aA
h
i
h
i h
i
b B
bC
b =B
b A;
b C
b + A;
b B
b C
b
d).- A;
i
i
h
i h
h
b C
b B
b
b B;
b C
b =A
b B;
b C
b + A;
e).- A
ii
ii h h
ii h h
h h
b C;
b A
b =0 1
b A;
b B
b + B;
b B;
b C
b + C;
b
f).- Identidad de Jacobi : A;

2

3

Adjunto de un operador

b y comoel adjunto del operador A.
b
Se de…ne A

3.1

Propiedades
y

( ) =
by
A

bB
b
A
b
B

y

(Si
b
=A

y

y

b yA
by
=B

by
=B

b +B
b
A

D

D

D

3.2

b
A

b
B

b
A

b
B

E

y

E

E

by
B

=

by + B
by
=A
=

D

=

b
A

D

bj i
= B

=h j

E

by
A

by =
B

Hermiticidad
by = A
b
A
by =
A

b y es
Si A
D
a).D
b).-

3.3

es una cantidad escalar)

=
E

D

E

by
A

by
h jB

(Operador hermítico)

b
A

(Operadorantihermítico)

hermítico y j i es un vector arbitrario, entonces:
E
b2
A
0
E D
E
b
b
A
=
A

Casos especiales
b yU
b =U
bU
by
U

bU
by = U
b yU
b =1
b
U

(Operador normal)
(Operador unitario).

bTU
b =U
bU
b T = 1,
b este operador es entonces ortogonal.
– si Uij = Uij , entonces se cumple que U
b invertible =) U
by = U
b
–U
y
bU
b =1
b
–U

1

b y es unitario
–U

b forman un conjunto ortonormal devectores
– Las columnas de U
b forman un conjunto ortonormal de vectores
– Las …las de U
3

b =
P

1
j ih j
h j i

(Operador proyección) ! Dado un vector arbitrario, el operador proyección extrae

1
la componente de este en la dirección unitaria p
j i.
h j i

Kets, Bras y Operadores en términos de una base ortonormal

4
4.1

Vectores y operadores

Sea una base vectorial discreta (recordar quetambién puede ser continua) fjnig ortonormal, entonces:
hn jl i =

nl

Los vectores arbitrarios j i y j i pueden ser descritos cada uno de ellos como una combinación lineal de los
elementos de la base fjnig:
X
X
j i=
an jni
j i=
bn jni
n

n

siendo an = hn j i las componentes del vector j i en cada una de las direcciones jni, de igual manera para bn .
X
y
h j=j i =
an hnj
n

h j i=
h j i=

X

an bnn

X

an an =

n

X
n

2

jan j

b está descrito en términos de esta base como:
Un operador arbitrario A
XX
b =
A
anm jni hmj
D

n

E

m

b m .
siendo anm = n A

4.2

b y Completitud
Operador unidad 1

b j i = j i, etc. Dicho operador es de…nido de la siguiente forma en términos de la
Existe un operador tal que 1
base fjnig:
X
b=
1
jni hnj
(Relación de completitud)
n

4

5

Notación matricial...
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