Formularios Oficiales Tablas Estadisticas Alejandro Gonzalez Corregidos

USACH
Facultad de Ciencia
Dpto. Matemática y CC.
Área de Estadísticas

ALGUNOS MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
MODELO
(Parámetros)
(*2)
BERNOULLI
(𝑝)

FUNCIÓN DE CUANTÍA

ESPERANZA
𝐸[𝑥]

VARIANZA
𝑉[𝑥]

𝑝

𝑝𝑞

𝑛𝑝

𝑛𝑝𝑞

𝑥 = 1,2, …

1
𝑝

𝑞
𝑝2

𝑁𝑝
𝑁𝑞
)(
)
𝑥
𝑛
−𝑥
𝑝(𝑥) =
𝑁
( )
𝑛

𝑛𝑝

𝑝(𝑥) = 𝑝𝑥 𝑞1−𝑥
𝑥 = 0,1

BINOMIAL
(𝑛, 𝑝)
𝑛 ∈ 𝑍+

𝑛
𝑝(𝑥) = ( ) 𝑝𝑥 𝑞𝑛−𝑥
𝑥
𝑥 = 0, … , 𝑛

GEOMÉTRICA
(𝑝)

𝑝(𝑥) = 𝑝𝑞 𝑥−1

ASIMETRÍA
𝛼3 [𝑥]

CURTOSIS
𝛼4 [𝑥]

1 − 2𝑝
√𝑝𝑞
1 − 2𝑝
√𝑛𝑝𝑞

F.GEN.M.
𝑀𝑋 [𝑡]

3+

[1 − 6𝑝𝑞]
𝑝𝑞

(𝑝𝑒 𝑡 + 𝑞)

3+

[1 − 6𝑝𝑞]
𝑛𝑝𝑞

(𝑝𝑒 𝑡 + 𝑞)𝑛

𝑝2
𝑞

𝑝
𝑒 −𝑡 − 𝑞

2−𝑝
9+

√𝑞

(

HIPERGEOMETRICA
(𝑁, 𝑛, 𝑝)
𝑁, 𝑛 ∈ 𝑍 +

𝑛𝑝𝑞

𝑚𝑎𝑥{0, 𝑛 − 𝑁𝑞} ≤ 𝑥 ≤ min {𝑛, 𝑁𝑝}

𝑁−𝑛
𝑁−1

𝐶𝑎𝑛𝑎𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔. 115

𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

PASCAL
(𝑟, 𝑝)
𝑟 ∈ 𝑍+
POISSON
()
>0

(*2)

(*1)

𝑥 − 1 𝑟 𝑥−𝑟
𝑝(𝑥) = (
)𝑝 𝑞
𝑟−1
𝑥 = 𝑟, 𝑟 + 1, 𝑟 + 2, …
𝑒−  𝑥
𝑥!
𝑥 = 0,1,2, …

𝑝(𝑥) =

𝑟
𝑝

𝑟𝑞
𝑝2

2−𝑝





√

√𝑟𝑞

3+

𝑝2 − 6𝑝 + 6
𝑟𝑞

3+

1



(

𝑟
𝑝
)
𝑒 −𝑡 − 𝑞

𝑒 − (𝑒

𝑡 −1)

En todos los modelos con parámetro “𝑝”, se verifica 0 < 𝑝 < 1; 𝑞 = 1 − 𝑝

𝑉[𝑥] = 𝛼𝑥2

;

𝛼3 [𝑥] =

𝐸[(𝑥 − 𝐸[𝑥])3 ]
𝜎𝑥3

;

𝛼4 [𝑥] =

𝐸[(𝑥 − 𝐸[𝑥])3 ]
𝜎𝑥3

;

𝑀𝑋 [𝑡] = 𝐸[𝑒 𝑡𝑋 ]

Alejandro González Tapia - Ing. Civil en Minas

ALGUNOS MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS(*1) MODELO
(Parámetros)
(*2)

FUNCIÓN DE DENSIDAD
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝛼−1 (1 − 𝑥)𝛽−1

BETA
(𝛼, 𝛽)
𝛼 > 0, 𝛽 > 0

0≤𝑥≤1
𝑟

CHI-CUADRADO
(𝑟)
𝑟>0

𝑓(𝑥) = 𝑒 − 𝑥

1

1

𝑥>0



2

𝑠
𝑠−2
𝑠>2

2𝑠 2 (𝑠 + 𝑟 − 2)
𝑟(𝑠 − 2)2 (𝑠 − 4)

𝑟

𝑟
𝑟
𝑓(𝑥) = 𝐾𝐹 𝑥 2−1 (1 + 𝑥)
𝑠
𝑥>0

𝑓(𝑥) =

(*3)

(*5)

(𝑥)
𝑒
(𝑟)
𝛤
1

√2𝜋 𝜎

2𝑟

√𝑟

𝑟+𝑠
−
2

𝑡<

1
2

𝑡 −1

(1 − )


2

9

𝑟

2



2

√𝑟

6
3+
𝑟

𝜇

𝜎2

0

3

𝑡<

𝑠>4

1 𝑥−𝜇2
)
𝜎

𝑒 −2(

𝑓(𝑥) =

1

𝑒

2
1 ln(𝑥)−𝜇
− (
)
2
𝜎

𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽(𝛽𝑥)𝛼−1 𝑒

1

𝑒 (𝜇+2𝜎

√2𝜋 𝜎𝑥
𝑥>0

𝐵𝑒𝑡𝑎: 𝐵(𝛼, 𝛽) =

;

𝛤(𝛼)𝛤(𝛽)
𝛤(𝛼 + 𝛽)

𝑟+𝑠
𝛤 ( 2 ) 𝑟 𝑟2
𝑟
𝑠 ( )
𝛤( ) 𝛤( ) 𝑠
2
2

𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡: 𝐾𝑡 =

𝛤[(𝑟 + 1)/2]
√𝑟𝜋 𝛤(𝑟/2)

𝑉𝐿

−(𝛽𝑥)𝛼

0

𝑟
𝑟−2
𝑟>2

𝛼+𝛽
2

(𝛽 − 𝛼)2
12

Γ(1 + 𝛼 −1 )

𝑡 −1
(1 − )



𝑡<
𝑒

1
(𝜇𝑡+ 𝜎 2𝑡 2)
2

𝛼3 [𝑥] =

𝐸[(𝑥 − 𝐸[𝑥])3 ]
𝜎𝑥3

(*4)

0

3(𝑟 − 2)
𝑟−4

0

9
5

𝑉𝑊

𝛽

𝑥>0

𝑉[𝑥] =𝛼𝑥2

2)

𝑟+1
2

𝛼≤𝑥≤𝛽

𝐾𝐹 =

𝑟

(1 − 2𝑡)−2

12
3+
𝑟

22

−∞ < 𝑥 < ∞

UNIFORME
(𝛼, 𝛽)
𝛼<𝛽

(*1)

F.GEN.M.
𝑀𝑋 [𝑡]

(*2)

3

−∞ < 𝑥 < ∞
1
𝑓(𝑥) =
𝛽−𝛼

WEIBULL
(𝛼, 𝛽)
𝛼 > 0, 𝛽 > 0

CURTOSIS
𝛼4 [𝑥]

−𝑥

𝑥2
𝑓(𝑥) = 𝐾𝑡 (1 + )
𝑟

(*5) T-STUDENT
(𝑟)
𝑟>0

(*2)

𝛼𝛽
(𝛼 + 𝛽)2 (𝛼 + 𝛽 + 1)

𝑥>0

(*4) LOGNORMAL
(𝜇, 𝜎 2 )
−∞ < 𝜇 < ∞; 𝜎 > 0

(*6)

𝛼
𝛼+𝛽

𝑟

𝑓(𝑥) =

NORMAL
(𝜇, 𝜎 2 )
−∞ < 𝜇 < ∞; 𝜎 > 0

ASIMETRÍA
𝛼3 [𝑥]

1𝑟−1

GAMMA
(𝑟, )
𝑟 > 0,  > 0

VARIANZA
𝑉[𝑥]

𝑥 2−1 𝑒 −2𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑟
𝑟
22 Γ ( )
2
𝑥>0

EXPONENCIAL
()
>0
(*3) F-SNEDECOR
(𝑟, 𝑠)
𝑟 > 0, 𝑠 > 0

ESPERANZA
𝐸[𝑥]

𝛼4 [𝑥] =

;

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑒−𝑥 𝑥𝛼−1 𝑑𝑥
0

(*4)

(*6)

;

𝑡≠0
(*6)

𝐸[(𝑥 − 𝐸[𝑥])3 ]
𝜎𝑥3

𝑀𝑋 [𝑡] = 𝐸[𝑒 𝑡𝑋 ]

;

∞

;

𝑒 𝑡𝛽 − 𝑒 𝑡𝛼
𝑡(𝛽 − 𝛼)

𝑟−1

𝛤(𝛼) = (𝛼 − 1)!
𝛼 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 > 0

;

𝐸[𝑋 𝑟 ] = ∏(𝛼 + 𝑖)/(𝛼 + 𝛽 + 𝑖)
𝑖=0

2

2

𝐿𝑜𝑔𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝑉𝐿 = [𝑒 (2𝜇+𝜎 ) ][𝑒 𝜎 −1]

𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙: 𝑉𝑊 =

𝛤(1+2𝛼−1 )−𝛤2 (1+𝛼−1 )
𝛽2

𝐸𝐿 [𝑋 𝑟 ] = 𝑒 𝜇𝑟 𝑒 𝑟

;

2 𝜎 2/2

𝑟

;

𝐸[𝑋 𝑟 ] =

𝛤(1+𝛼)
𝛽𝑟

Alejandro González Tapia - Ing. Civil en Minas

INTERVALOS CONFIDENCIALES MÁS USUALES
Intervalo Confidencial del (1 − 𝛼) 100%

Situación

Parámetro

Estimador

X v.a. normal, una m.a.

𝜎2

𝑠2

((𝑛 − 1)𝑠 2 ⁄𝜒2 (𝑛−1;1−𝛼) ,

𝜇

𝑥̅

(𝑥̅ − 𝑧1−𝛼

𝜇

𝑥̅

(𝑥̅ − 𝑡(𝑛−1;1−𝛼)

𝑝

𝑝̂

𝜎12
𝜎22

𝑠12𝑠22

𝜇1 − 𝜇2

𝑥̅1 − 𝑥̅2

𝜇1 − 𝜇2

𝑥̅1 − 𝑥̅2

X v.a. normal, una m.a.
𝜎 2 conocido

2

𝜎
√𝑛

X v.a. normal, una m.a.
𝜎 2 desconocido

2

X v.a. Bernoulli (𝑝)
m.a. de tamaño n

X v.a. normal
dos m.a. independientes

(𝑛 − 1)𝑠 2⁄𝜒2 (𝑛−1;𝛼) )

2

𝑠
√𝑛

𝜎

,

𝑥̅ + 𝑧1−𝛼

,

𝑥̅ + 𝑡(𝑛−1;1−𝛼)

2

√𝑛

2

𝑝̂ 𝑞̂
(𝑝̂ − 𝑧1−𝛼 √
,
𝑛
2

(

2

)
𝑠
√𝑛

)

𝑝̂ 𝑞̂
𝑝̂ + 𝑧1−𝛼 √ )
𝑛
2

𝑠12
𝐹
𝛼 ,
𝑠22 (𝑛2−1; 𝑛1−1;2 )

𝑠12
𝐹
𝛼 )𝑠22 (𝑛2−1; 𝑛1−1;1− 2 )

X v.a. normal
dos m.a. independientes

1
1
𝑥̅1 − 𝑥̅2 ± 𝑧1−𝛼 𝜎 √ +
𝑛1 𝑛2
2

𝜎12 = 𝜎22 = 𝜎 2 conocida
X v.a. normal
dos m.a. independientes

𝑥̅1 − 𝑥̅2 ± 𝑡(𝑛

𝜎12 = 𝜎22 = 𝜎 2 desconocida

𝛼

𝑝 ;1− 2 )

Con 𝑛𝑝 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2;
X v.a. normal
dos m.a. independientes

𝜇1 − 𝜇2

𝑥̅1 − 𝑥̅2 ± 𝑡(

𝑥̅1 − 𝑥̅2

𝜎12 ≠ 𝜎22 = 𝜎 2 desconocida

Con

1
1
𝑠𝑝 √ +
𝑛1 𝑛2

𝑠𝑝 = √...