formulas de geometria analitica

Tema 8:
Intersección de superficies. Aplicaciones al dibujo técnico.

Consideraciones generales.
El proceso para obtener la intersección de dos superficies S1 y S2, se
desarrolla como sigue (figura 1):
1. Por medio de una superficie auxiliar α (que generalmente es un plano) se
obtiene la intersección con cada una de las superficies:
α ∩ S1 = i αS1 ; α ∩ S2 = i αS2
2. Los puntos comunes aambas intersecciones, son puntos de la intersección de
ambas superficies: i αS1 ∩ i αS2 = I1, I2, … son puntos de la intersección solución.
3. Repitiendo la construcción con otras superficies auxiliares, cada una de ellas
determina nuevos puntos, que unidos ordenadamente, dan la intersección i
buscada.
La condición que han de cumplir las superficies auxiliares es que corten a
las dadassegún líneas sencillas y fáciles de determinar. En el caso del ejemplo
que se muestra en la figura 1, las superficies auxiliares son planos como el α,
siendo las intersecciones con el cono y esfera i αS1, i αS2 , círculos, que se cortan
en los puntos I1 e I2 de la intersección solución.

Figura 1. Intersección entre cono y esfera.

Intersección de superficies regladas desarrollables.
Laintersección entre superficies regladas se obtiene empleando planos
auxiliares que pasen por sus vértices. Así:

- si son dos figuras de vértice propio (conos, pirámides o cono-pirámide),
por la línea que une sus vértices V1-V2-T (figuras 2, 6),
- si es una figura de vértice propio y otra impropio (cono-cilindro, prismapirámide, cono-prisma, pirámide-cilindro) por la línea r(V, T) que pase por elvértice del cono y sea paralela a las generatrices del cilindro (figuras 3, 7,8).
- si son dos figuras de vértice impropio (cilindros, prismas o prisma-cilindro)
por un punto se hacen pasar dos rectas paralelas s, t, a las generatrices de los
cilindros g1 y g2, las cuales definen un plano, cuya traza con el horizontal es δ1.
Los planos auxiliares son paralelos al plano δ(s, t) obtenido(figuras 4, 5).
De este modo las intersecciones i αS1, i αS2 , de los planos auxiliares con
las superficies son rectas, que se cortan respectivamente en puntos I1, I2,… de la
intersección solución.

Figura 2. Intersección cono-cono. Planos límite: RL-V1-V2. Mordedura.

Figura 3. Intersección Cono-cilindro. RL-V. Penetración.

Figura 4. Intersección Cilindro-cilindro. δ(t,s). Límite sencillo.La intersección se encuentra entre dos planos límite, definidos por las
rectas RL y la línea antes indicada, V1-V2-T,… según el caso. El procedimiento
para realizar gráficamente la intersección (figura 4) consiste en:
- trazar algunos planos auxiliares que estén entre las rectas límite,
- obtener las generatrices intersección respectivas,
- obtener los puntos intersección de las generatricescorrespondientes,
- finalmente, unir ordenadamente los puntos de la intersección solución.
En el caso de la figura 4, para unir ordenadamente los puntos de la
intersección, se sigue el orden que se muestra al analizar las bases de los
cilindros, de las que salen las generatrices que dan lugar a los puntos de la
intersección.
A–a=1
B–b=2
C–c=3
D–d=4

A–e=5
B–d=6
C–c=7
D–b=8

A – a =1 Cierre
3-7 Punto doble.

Figura 5. Intersección Prisma-prisma. Límite doble.

Figura 6. Intersección Pirámide-Pirámide (Límite doble), Pirámide-Prisma
(Penetración).
Los tipos de intersección de superficies que pueden darse son, figura 6:
a) penetración (figura 3,6,7); que da lugar a una curva alabeada con dos
ramas independientes (sin puntos comunes), una de entrada y otra de salida.b) mordedura (figura 2,7); que da lugar a una curva alabeada.
c) límite sencillo (figura 4); que da lugar a una curva alabeada, con dos
ramas, una de entrada y otra de salida, pero que tienen un punto común.
d) límite doble (figura 5,6,8); que da lugar a una curva, con dos ramas, una
de entrada y otra de salida, pero con dos puntos comunes. Este caso será objeto
de estudio más detallado,...