Formulas de Propagacion de Incertezas

PROPAGACIÓN DE INCERTEZAS
Sean A = A ± εA y B = B ± εB los resultados de dos mediciones, es decir que son dos intervalos:

Si queremos hacer una cuenta con A y B, por ejemplo A+B, el resultado no será un único número ya que
A es todo un intervalo de valores y B también. En consecuencia A+B será el intervalo de todos los resultados
que se pueden obtener si uno hace la cuenta con todos y cada unode los valores de A y B. Es decir que, en
general, cualquier operación que hagamos con A y B nos dará como resultado un intervalo y ese intervalo lo
expresaremos como un valor representativo ± una incerteza. Para esto aplicaremos las siguientes reglas:
ƒ El valor representativo de una operación es el resultado de efectuar dicha operación con
los valores representativos. Por ejemplo: A + B = A + B
ƒLas incertezas para las distintas operaciones se obtienen a partir de las siguientes
fórmulas:
ƒ Suma: ε ( A + B) = εA + εB
ƒ Resta: ε ( A − B) = εA + εB
ƒ Producto: e( A.B) = eA + eB
⎛ A⎞
ƒ Cociente: e⎜ ⎟ = eA + eB
⎝B⎠
ƒ Potencia: e(A R ) = R .eA con R ∈ ℜ
Las fórmulas para Suma y Resta son exactas. En cambio, las fórmulas para Producto, Cociente y
Potencia son aproximadas y dichasaproximaciones son válidas si las incertezas relativas de las mediciones
son “pequeñas”.
Pero… ¿de dónde salen estas fórmulas para las incertezas? La idea que aplicaremos para demostrarlas es
la siguiente:
Sabemos que el resultado de una operación entre A y B (llamémoslo C) es un intervalo:

Y consideraremos que el valor representativo de C (o sea C ) se obtiene al hacer la cuenta con los valoresrepresentativos de A y de B. C es el punto medio del intervalo C. La incerteza absoluta de C ( εC ) es la
distancia que hay desde el punto medio del intervalo hasta cada uno de los extremos, es decir:
εC = C máx − C = C − C mín
Entonces, para cada operación entre A y B calcularemos la diferencia entre el máximo valor posible del
resultado ( Cmáx ) y el valor representativo de C ( C ) y eso nos dará la εC .Suma:
Tenemos A = A ± εA y B = B ± εB y deseamos calcular: C = A + B
El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos:
C = A+ B
Veamos ahora cuál es el máximo valor posible de la suma de A y B, es decir Cmáx . Al sumar dos
números, cuanto mayor sea cada uno de ellos mayor será el resultado. Entonces: C máx = Amáx + Bmáx pero
Amáx = A + εA (o sea el puntomedio del intervalo de A más lo que le tengo que sumar para llegar al extremo
superior del mismo) y Bmáx = B + εB
En consecuencia: Cmáx = Amáx + Bmáx = 1
A2
+3
εA + 1
B2
+ ε3
B
Amáx

Bmáx

Ya tenemos C y Cmáx . Como εC = C máx − C , sólo nos falta hacer la diferencia entre ambos.

⎛

⎞

+4
+3
εC = C máx − C = 1
A +4ε4
A2
B +4ε3
B − ⎜⎜ 1
A2
B ⎟⎟ = εA + εB + A + B − A − B = εA + εB

⎝ C
Tenemosfinalmente lo que queríamos:
C máx

⎠

ε (1
A2
+3
B) = εA + εB
C

Resta:
Tenemos A = A ± εA y B = B ± εB y ahora deseamos calcular: C = A − B
El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos:
C = A− B
Veamos ahora cuál es el máximo valor posible de la diferencia entre A y B, es decir Cmáx . Al efectuar la
diferencia entre dos números A − B , el resultado serámayor cuanto mayor sea A y cuanto menor sea B.
Entonces: C máx = Amáx − Bmín pero Amáx = A + εA y Bmín = B − εB
En consecuencia: C máx = A máx − B mín = 1
A2
+3
ε A − (1
B −4
ε3
B ) = A − B + εA + εB
42
A máx

B mín

Ya tenemos C y Cmáx . Como εC = C máx − C , sólo nos falta hacer la diferencia entre ambos.

⎛

⎞

εC = C máx − C = 1
A −4B4+2ε4
A +4ε3
B − ⎜⎜ 1
A2
−3
B ⎟⎟ = εA + εB + A − B − A + B =εA + εB

⎝ C
Tenemos finalmente lo que queríamos:
C máx

⎠

ε (1
A2
−3
B ) = εA + εB
C

Producto:
Tenemos A = A ± εA y B = B ± εB y deseamos calcular: C = A. B . Por ejemplo, podríamos pensar que
este es el cálculo de un área.
El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos:
C = A. B . Esto correspondería al área de un rectángulo de lados A; B

Veamos...