Formulas de torsion

DEDUCCIÓN DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN

Figura del libro (scanerar)

En la figura anterior se muestra dos proyecciones de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a losextremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como AB en la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un ciertoángulo θ respecto a la sección A. se puede adquirir una representación intuitiva de cómo se forma esta hélice de la manera siguiente.
Imaginemos que el árbol está formado por innumerables “rebanadas”o porciones elipsoidales muy delgadas, todas ellas perfectamente rígidas y unidas mediante fibras elásticas.
La (2) sufrirá una rotación, resbalando sobre la (1) hasta que las fibras elásticas quelas unen se deformen y produzcan, al estirarse, un par resistente que equilibre al par aplicado. En este momento, las “rebanadas” o porciones discoidales (1) y (2) actuaran como un conjunto único yrígido, transmitiendo el par torsionante a la (3); esta girará hasta que las fibras elásticas que la unen a la (2) desarrollen como antes un par resistente igual al par aplicado, y así sucesivamente,propagándose la deformación a lo largo de la longitud L del árbol. La hélice AC es la línea que une los puntos iníciales de referencia de todas la rebanadas infinitamente delgadas, puntos que antes dela deformación estaban sobre AB. Esta descripción intuitiva de la deformación por torsión en un árbol es puramente ideal, pero la hélice que resulta está perfectamente definida. En realidad, todas lasrebanadas empiezan a girar al mismo tiempo sobre las anteriores, tan pronto como se aplica el momento torsionante, y el ángulo total de torsión θ de uno a otro extremo aumenta si el momento de torsiónse incrementa.
Consideraremos ahora una fibra cualquiera a una distancia ρ del eje del árbol. Por la hipótesis 3 de la sección anterior, el radio de dicha figura gira también el mismo ángulo θ,...