Formulas notables

Factorización por fórmulas notables

En esta sección enunciamos algunos teoremas en los cuales se establecen ciertas identidades, que denominaremos fórmulas notables, y que serán utilizadas para factorizar algunas expresiones algebraicas.



Teorema
Si $a \in I \! \!R, \, \, \, b \in I \! \!R$ entonces se cumple que:

$(a \, + \, b)^2 \, = \, a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$Demostración:



$(a \, + \, b)^2$ = $(a \, + \, b)(a \, + \, b)$
= $a \, \cdot \, a \, + \, a \, \cdot \, b \, + \, b \, \cdot \, a \,
+ \, b \, \cdot \, b$
= $a^2 \, + \, ab \, + \, ab \, + \, b^2$
= $a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$
Por lo tanto $(a \, + \, b)^2 = a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$ y decimos que $(a \, + \, b)^2$ es factorización de la expresión $a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$Ejemplo:

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a. $x^2 \, + \, 10x \, + \, 25 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
\, \, \, \, $
b. $4x^2 \, + \, 20x \, + \, 25 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $
c. $9a^2 \, + \, 6a \, + \, 1$
Solución:



a. $x^2+10x+25$
$= (x)^2+2(x)(5)+5^2$
$= (x+5)^2$
Por lo que la factorización de $x^2+10x+25$es $(x+5)^2$ o sea $x^2+10x+25=(x+5)^2$

b. $4x^2+20x+25$
$= (2x)^2+2(2x)(5)+5^2$
$= (2x+5)^2$
Por lo que la factorización de $4x^2+20x+25$ es $(2x+5)^2$ o sea $4x^2+20x+25=(2x+5)^2$

c. $9a^2+6a+1$
$= (3a)^2+2(3a)(1)+1^2$
$= (3a+1)^2$
Por lo que la factorización de $9a^2+6a+1$ es $(3a+1)^2$ o sea $9a^2+6a+1=(3a+1)^2$

Ejercicio:
Factorice completamente cada una de las siguientesexpresiones:

1. $25x^2+30x+9$
2. $4r^2+12r^3s^2+9s^4$
3. $a^2+8ab+16b^2$
4. $2x^2+2\sqrt{2}x+1$
5. ${c^2\over9}+{2c\over d}+{9\over d^2}$
6. ${9h^2\over16}+{4h^k\over3}+{64k^2\over81}$

Teorema
Si $a \in I \!\! R, \, \, \, b I \!\! R$ entonces se cumple que: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .
Demostración:

$(a-b)^2$ = $(a-b)(a-b)$
= $a[a+(-b)]+(-b)[a+(-b)]$
= $a^2-ab-ab+b^2$
=$a^2-2ab+b^2$
Por lo tanto $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ y decimos que $(a-b)^2$ es la factorización de la expresión $a^2-2ab+b^2$.

Ejemplo:

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:
a. ${x^2\over4}-\sqrt{3}x+3 \, \, \, \, \, \, \,$
b. $9x^2y^2-12xy+4 \, \, \, \, \, \, \,$
c. $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$
Solución:

a. ${x^2\over4}-\sqrt{3}x+3$

$=({x\over2}-\sqrt{3})^2$
Por lo que la factorización de ${x^2\over4}-\sqrt{3}x+3$ es $({x\over2}-\sqrt{3})^2$

o sea: ${x^2\over4}-\sqrt{3}x+3=({x\over2}-\sqrt{3})^2$

b. $9x^2y^2-12xy+4$
$= (3xy)^2-2(3xy)(2)+(2)^2$
$= (3xy - 2)^2$
Por lo que la factorización de $9x^2y^2-12xy+4$ es $(3xy - 2)^2$

o sea: $9x^2y^2-12xy+4=(3xy - 2)^2$



c. $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$

$=(\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$
Por lo que la factorización de $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$ es $(\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$

o sea: $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2=(\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$

Ejercicio:

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:



1. $20x^2-2\sqrt{5}xy+{y^2\over4}$
2. ${1\over x^2}+ 4y^2-{4y\over x}$
3. ${4n^2\over9}-20nm+25m^2$
4. $x^2y^2z^2-z+{1\over 4x^2y^2}$
5. ${x^2\over9} -{10x\over3}+25$
6. $x^2-2\sqrt{2}xy+2y^2$

Teorema
Si $a \in I \! \!R, \, \, \, b \in I \! \!R$ entonces se cumple que $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .
Demostración:



$(a+b)(a-b)$ = $a(a-b)+b(a-b)$
= $a[a+(-b)]+b[a+(-b)]$
= $a \, \cdot \, a \, + \, a(-b) \, + \, b \, \cdot \, a \, + \,
b(-b)$
= $a^2-ab+ab-b^2$
= $a^2-b^2$
Por lo tanto: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ y decimos que es lafactorización de la expresión $a^2-b^2$.

Ejemplo:

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:
a. $4a^2-y^2 \, \, \, \, \, \, \, \,$
b. $3x^2 - {c^2\over25}
\, \, \, \, \, \, \, \, $
c. $(3+2b)^2-(c-4^2) \, \, \, \, \,
\, \, \, $
d. $9x^2-12x-4-y^2$
Solución:
a. $4a^2-y^2$
$= (2x)^2-y^2$
$= (2x+y)(2x-y)$
Por lo que la factorización de $(4x^2-y^2)$ es...