Formulas Para Frecuencias Acumuladas

Formulas para frecuencias acumuladas

La frecuencia acumulada o frecuencia acumulativa es la frecuencia de ocurrencia de valores de un fenómeno menores que un valor de referencia. El fenómeno puede ser una variable aleatoria que varía en el tiempo o en el espacio.
La frecuencia acumulada se llama también frecuencia de no−excedencia.
El análisis de la frecuencia acumulada se hace con elpropósito de obtener una idea de cuantas veces ocurriría un cierto fenómeno lo que puede ser instrumental en describir o explicar una situación en la cual el fenómeno juega un papel importante, o en planificar intervenciones, por ejemplo en el control de inundaciones.
 Definición
El análisis de la frecuencia acumulada se aplica a una colección de datos observados de un fenómeno (X). La colección puedeser en dependencia del tiempo (por ejemplo la lluvia medida en un sitio) o del espacio (por ejemplo cosechas de cultivos en el área), o puede tener otra dependencia.
La frecuencia acumulada es la frecuencia estadística F(X≤Xr) con que el valor de un variable aleatoria (X) es menor que o igual a un valor de referencia (Xr).
La frecuencia acumulada relativa se deja escribir como Fc(X≤Xr), o enbreveFc(Xr), y se calcula de:
* Fc (Xr)  = MXr / N
donde MXr es el número de datos X con un valor menor que o igual a Xr, y N es número total de los datos.
En breve se escribe:
* Fc = M / N
Cuando Xr=Xmin, donde Xmin es el valor mínimo observado, se ve que Fc=1/N, porque M=1. Por otro lado, cuando Xr=Xmax, donde Xmax es el valor máximo observado, se ve que Fc=1, porqueM=N.
En porcentajela ecuacion es:
* Fc(%) = 100 M / N

 Probabilidad
La probabilidad cumulativa ℙ(X≤Xr) − es decir la probabilidad que X será menor que o igual a Xr − se puede estimar a base de la frecuencia acumulada relativa Fc como:
* Pc (Xr)  = MXr / (N+1)
En breve se puede notar:
* Pc = M/(N+1)
Aqui se ha introducido el denominador N+1 en vez de N para crear la posibilidad que X puede ser mayorque Xmax ya que ahora Pc(Xmax) es menor de 1. Existen otras propuestas para el denominadorN+1, pero éstas a la vez son consideradas incorrectas.
Distribución continua

Diferentes distribuciones normales, cumulativas, de probabilidad con sus parámetros

A fin de formular la distribución de frecuencia acumulativa como una ecuación matemática evitando la presentación de una tabla, se adaptaesta distribución a una distribución de probabilidad acumulativa.2
La ecuación también ayuda en la interpolación y la extrapolación. Sin embargo, la extrapolación de una distribución de frecuencia puede ser una fuente de errores. Un posible error es que la distribución de frecuencia no sigue la distribución de probabilidad afuera del rango observado.
Cualquier ecuación que da el valor 1cuando integrado de un límite inferior a un límite superior que corresponden con los datos, puede servir como distribución de probabilidad.
Existen dos procedimientos para la acomodación de distribuciones de probabilidad:
* el método paramétrico, determinando los parámetros como medio y desviación estándar de los datos X
* el método de regresión, linearizando la distribución de probabilidad por unatransformación y determinando los parámetros con una regresión lineal de Pc transformado (aqui Pc se obtiene del método de ordenación por magnitud) sobre los datos X transformados
Aplicación de ambos métodos empleando por ejemplo la:

 Distribución normal
 Distribución log-normal
 Distribución exponencial
 Distribución de gumbel
 Distribución de pareto
 Distribución de weibullDistribución normal |

La línea verde corresponde a la distribución normal estándar
Función de densidad de probabilidad |

Función de distribución de probabilidad |
Parámetros |
σ > 0 |
Dominio | |
Función de densidad(pdf) | |
Función de distribución (cdf) | |
Media | |
Mediana | |
Moda | |
Varianza | |
Coeficiente de simetría | 0 |
Curtosis | 0 |...