formulas st

Tarea:

Demostración de:
𝑆𝑆𝑇 = 𝑆𝑆𝐴 + 𝑆𝑆𝐸
𝑘

𝑛𝑖

𝑘

2

𝑛𝑖

𝑘

2

𝑛𝑖

2

𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅) = ∑ ∑(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅𝑖° + 𝑌̅𝑖° − 𝑌̅) = ∑ ∑ ((𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅𝑖° ) + (𝑌̅𝑖° − 𝑌̅))
𝑖=1 𝑗=1

𝑖=1 𝑗=1𝑛𝑖

𝑘

𝑖=1 𝑗=1
2

̅ ° − 𝑌̅)(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅𝑖° ) + (𝑌𝑖
̅ ° − 𝑌̅)2 ]
= ∑ ∑ [(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅𝑖° ) + 2(𝑌𝑖
𝑖=1 𝑗=1

Sumando primero para j, obtenemos.
𝑛𝑖

𝑘

𝑛𝑖
2

̅ ° − 𝑌̅) ∑(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅𝑖° ) + 𝑛𝑖(𝑌𝑖
̅ ° − 𝑌̅ )2 ]
𝑆𝑆𝑇 = ∑ [∑(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅𝑖° ) + 2(𝑌𝑖
𝑖=1 𝑗=1

𝑗=1

Donde
𝑛𝑖

∑(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅𝑖° ) = 𝑌𝑖 − 𝑛𝑖 𝑌̅𝑖° = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 = 0
𝑗=1

En consecuencia, el término medio de la expresión para el SS total esigual a cero.
Entonces, sumando para i, obtenemos
𝑘

𝑛𝑖
2

𝑘

𝑛1
2

𝑘

̅ ° − 𝑌̅)2
𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅) = ∑ ∑(𝑌𝑖𝑗 − 𝑌̅𝑖° ) + ∑ 𝑛𝑖 (𝑌𝑖
𝑖=1 𝑗=1

𝑖=1 𝑗=1

𝑖=1

Demostración de:
𝑆𝑆𝑇 =𝑆𝑆𝐴 + 𝑆𝑆𝐵 + 𝑆𝑆𝐸
𝑘

𝑏

2

𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅.. )
𝑖=1 𝑗=1

Sustituyendo.
𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅.. = (𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.. ) + (𝑦̅.𝑗 − 𝑦̅.. ) + (𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.𝑗 + 𝑦̅.. )
Obtenemos.
𝑘

𝑏

2

∑ ∑[(𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.. ) +(𝑦̅.𝑗 − 𝑦̅.. ) + (𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.𝑗 + 𝑦̅.. )] =
𝑖=1 𝑗=1
𝑘

𝑏

2

𝑘

𝑏

2

𝑏 ∑(𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.. )2 + 𝑘 ∑(𝑦̅.𝑗 − 𝑦̅.. ) + ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.𝑗 + 𝑦̅.. ) +
𝑖=1

𝑗=1
𝑘

𝑖=1 𝑗=1
𝑏

2 ∑ ∑(𝑦̅𝑖.− 𝑦̅.. )(𝑦̅.𝑗 − 𝑦̅.. ) +
𝑖=1 𝑗=1
𝑘

𝑏

𝑘

𝑏

2 ∑ ∑(𝑦̅.𝑗 − 𝑦̅.. )(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.𝑗 + 𝑦̅.. ) + 2 ∑ ∑(𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.. )(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.𝑗 + 𝑦̅.. )
𝑖=1 𝑗=1

𝑖=1 𝑗=1

Los dobles productos seanulan ya que los términos son ortogonales, como acabamos de
comprobar, por lo que dicha ecuación queda en la forma.
𝑘

𝑏

2

𝑘

𝑏

∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅.. ) = 𝑏 ∑(𝑦̅𝑖. − 𝑦̅..
𝑖=1 𝑗=1

𝑖=1

)22

𝑘

𝑏

2

+ 𝑘 ∑(𝑦̅.𝑗 − 𝑦̅.. ) + ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖. − 𝑦̅.𝑗 + 𝑦̅.. )
𝑗=1

𝑖=1 𝑗=1

Representa la ecuación básica del análisis de la varianza, que simbólicamente podemos escribir.
𝑆𝑆𝑇 =𝑆𝑆𝐴 + 𝑆𝑆𝐵 + 𝑆𝑆𝐸

Demostración de:
𝑆𝑆𝑇 = 𝑆𝑆𝑅 + 𝑆𝑆𝐶 + 𝑆𝑆𝐴 + 𝑆𝑆𝐸
𝑘

𝑏

𝑟

2

𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗𝑎 − 𝑦̅.. )
𝑖=1 𝑖=1 𝑎=1

Sustituyendo.
𝑦𝑖𝑗𝑎 − 𝑦̅… = (𝑦̅𝑖.. − 𝑦̅… ) + (𝑦̅.𝑗. −...