formulas trigonometricas

Integrales trigonométricas

VII
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante.
Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y cuatro más correspondientes a las inversas de las derivadas de las seis
funciones trigonométricas. Esto último se refiere a quesi la derivada de la tangente es la secante
cuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.

(17)

∫

sen u du = − cos u + c

(18)

∫

cos u du = sen u + c

(19)

∫

tanu du = ln secu = − ln cos u + c

(20)

∫

cot u du = ln sen u + c

(21)

∫

sec u du = ln ( tan u + sec u ) + c

71

Integrales trigonométricas

(22)

∫

csc u du = ln ( csc u − cot u ) + c

(23)

∫

sec 2 udu = tanu + c

(24)

∫

csc 2 u du = − cot u + c

(25)

∫

tanu secu du = secu + c

(26)

∫

cot u cscu du = − csc u + c

Como en todos los casos de fórmulas nuevas, para emplearlas debidamente debe hacerse
un cambio de variable, en donde u es el argumento de la función trigonométrica.

Ejemplo 1: Integrar
Solución:

∫

sen 9 x dx

En este caso el argumento es 9x, o sea que
u = 9x ,
du = 9dx

dedonde

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 9; pero para que no se altere la integral
original también debe dividirse entre 9, de modo que:

∫

sen 9 x dx =

1
9

∫

sen 9 x 9 dx

[N]

sen u

72

du

Integrales trigonométricas

=

∫

Ejemplo 2: Integrar
Solución:

1
9

sen 9 x dx = −

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

∫

sen u du =

1
[ − cos u ] + c
9

1
cos 9 x + c
9

− 4 x + 11) dxEn este caso el argumento es 3x 2 - 4x + 11 , o sea que
u = 3x 2 - 4x + 11 ,
du = (6x - 4)dx

de donde

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 2; pero para que no se altere la integral
original también debe dividirse entre 2, de modo que:

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

− 4 x + 11) =

1
2

∫

tan ( 3 x 2 − 4 x + 11) ⎡⎣ 2 ( 3 x − 2 ) dx ⎤⎦

=

1
2

∫

tan ( 3 x 2 − 4 x + 11) ( 6 x − 4 )dx
 

 


tan u

=

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

1
ln sec u + c
2

− 4 x + 11) dx =

73

du

1
ln sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) + c
2

Integrales trigonométricas

COMPROBACIÓN:
Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la
integral, hágase I =

1
ln sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) + c .
2

Entonces

⎡ d
sec ( 3 x 2 − 4 x + 11)
dI
1 ⎢ dx
= ⎢
dx
2 ⎢ sec ( 3 x 2− 4 x + 11)
⎣

⎤
⎥
⎥+0
⎥
⎦

d
⎡
tan ( 3 x 2 − 4 x + 11) sec ( 3 x 2 − 4 x + 11)
3 x 2 − 4 x + 11)
(
1 ⎢
dx
= ⎢
2
2 ⎢
sec ( 3 x − 4 x + 11)
⎣
2
2
1 ⎡ tan ( 3 x − 4 x + 11) sec ( 3 x − 4 x + 11) ⎡⎣( 6 x − 4 ) ⎤⎦
= ⎢
2 ⎢
sec ( 3 x 2 − 4 x + 11)
⎣
2
2
1 ⎡ 2 ( 3 x − 2 ) tan ( 3 x − 4 x + 11) sec ( 3 x − 4 x + 11)
= ⎢
2 ⎢
sec ( 3 x 2 − 4 x + 11)
⎣

dI
= ( 3 x − 2 ) tan ( 3 x 2 − 4 x + 11)
dx

74

⎤
⎥⎥⎦

⎤
⎥
⎥⎦

⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

Integrales trigonométricas

EJERCICIO 25
Realizar las siguientes integrales:

1)

∫

sen 13 x dx

2)

∫

cos 4 x dx

3)

∫

tan ( 4 − 9 x ) dx

4)

∫

cot (17 x + 6 ) dx

5)

∫

sec (11x + 12 ) dx

6)

∫

csc (1 − 5 x ) dx

7)

∫ ( x − 5) sen ( x

8)

∫ ( 3x + 3) cos ( 5 x

9)

∫ ( 2 x − 3) tan ( 7 x

10)

∫ (x

11)

∫ (6x

12)

∫

14)

∫

2

2

− 10 x + 1) dx
2

− 21x + 9 ) dx2

2

+ 10 x + 10 ) dx

+ 6 x ) cot ( x 3 + 9 x 2 − 15 ) dx

− 6 x + 3) sec ( 8 x3 − 12 x 2 + 12 x − 13) dx

5
2x

sen

2 x dx

11
⎛ 9 ⎞
tan ⎜ 2 ⎟ dx
3
x
⎝ x ⎠

75

13)

∫

7
⎛ 3 ⎞
cos ⎜ ⎟ dx
2
x
⎝ x ⎠

15)

∫

2
⎛ 5 ⎞
csc ⎜ 3 ⎟ dx
4
x
⎝ x ⎠

Integrales trigonométricas

TÉCNICAS Y RECURSOS DE INTEGRACIÓN
Para integrar cualquier otra función trigonométrica que no pueda resolverse con un simplecambio de variable, tales como las estudiadas en las páginas precedentes de este capítulo,
deben emplearse diferentes técnicas y recursos algebraicos para reducir la función original a una
forma equivalente ya integrable.
Independientemente de la técnica o recurso que se emplee, es necesario tener a la mano
las siguientes fórmulas o identidades trigonométricas:
(1)

sen 2 A + cos 2 A = 1

(2)...