Formulas

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FORMULARIO DE MATEMÁTICAS

Geometría

Volumen =

4 3

π r3

r

Área de la Superficie = 4 π r 2

r

Volumen =

π r 2h
h

Área de la superficie lateral = 2 π rh

r

Volumen = 1 π r 2 h 3
h l

Área de la superficie lateral = π r r + h = π r l
2 2

Volumen = 1 π h( a 2 + a b + b 2 ) 3 Área de la superficie lateral
= π ( a + b) h + ( b − a )
2 2

a

= π ( a +b) l
h

l

b

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Trigonometría
sen2 A + cos2 A = 1 sec2 A − tan2 A = 1 csc2 A − cot 2 A = 1
sen cos cos cot A = sen tan A = A A A A
1 1 sen2 A = 2 − 2 cos 2 A 1 1 cos2 A = 2 + 2 cos 2 A sen 2 A = 2 sen A cos A cos 2 A = cos2 A − sen2 A

sen ( A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B
cos ( A ± B) = cos A cos B m sen A sen B tanA ± tanB tan ( A ± B) = 1 m tanAtanB
A = ± 2 A cos = ± 2 sen1 − cos A 2 1 + cos A 2
1 2

sen A csc A = 1 cos A sec A = 1 tan A cot A = 1
sen ( − A) = − sen A cos ( − A) = cos A
tan (− A) = − tan A

sen A sen B =

sen A cos B = cos A cos B =

1 2
1 2

[ cos( A − B) − cos( A + B)] [ sen( A − B) + sen ( A + B)] [ cos( A − B) + cos( A + B)]

Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B,C.
Ley de los senos
a b c = = sen A sen B sen C
A b

Ley de los cosenos

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
B

c C

a

Ley de las tangentes 1 a + b tan 2 ( A + B) = 1 a − b tan 2 ( A − B) Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de DeMoivre establece que [ r( cosθ + i sen θ )] p = r p ( cos pθ + i sen pθ ) Sea n cualquier entero positivo y p = 1 n , entonces 1 1 2 2 [ r( cosθ + i sen θ ) ] n = r n [ cos θ +n kπ + i sen θ +n kπ ]
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo k = 0,1,2, L , n − 1

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Geometría Analítica del Espacio
Considerando P = ( x1, y1 , z1 ) y P2 = ( x2 , y2 , z2 ) 1 Vector que une P1 y P2 : P P2 = 1 Distancia entre dos puntos: d=

(x

2

− x1 ) , ( y2 − y1 ) , ( z2 − z1 ) = ( l, m, n)

(x

2

− x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) = l 2 + m2 + n 2
2 2 2

Recta que pasa por dos puntos: - Forma Paramétrica:
x = x1 + l t

y = y1 + mt

z = z1 + n t

-Forma Simétrica:
t=

x − x1 l

t=

y − y1 m

t=z − z1 n

Cosenos Directores: x −x l cos α = 2 1 = d d

cos β =

y2 − y1 m = d d

cos γ =

z2 − z1 n = d d

donde α , β, γ denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Ecuación del Plano: - Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a = a1 ,a 2 ,a 3 : a1 ( x − x1 ) + a2 ( y − y1 ) + a3 (z − z1 ) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 o l 2 + m2 + n2 = 1
→

-Forma General:

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0 Ax 0 + By 0 + Cz0 + D d= ± A2 + B 2 + C 2 en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

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Coordenadas cilíndricas: ⎧ ⎧ 2 2 ⎪r = x + y ⎪ x = r cosθ ⎪ y ⎨ y = r sen θ o ⎨ θ = tan −1 x ⎪⎪z= z ⎪z = z ⎩ ⎩

z

()
O x r θ y

P

{

(x,y,z) (r,θ,z)

z y

x

Coordenadas esféricas:

z

⎧ ⎧ x = r sen θ cos φ ⎪ r = x2 + y2 + z2 ⎪ ⎪ y ⎨ y = r sen θ sen φ o ⎨ φ = tan −1 x ⎪ z = r cosθ ⎪ ⎞ −1 ⎛ z ⎩ ⎪θ = cos ⎝ x 2 + y 2 + z 2 ⎠ ⎩

P r θ O x

{

(x,y,z) (r,θ,φ)

()

z y

φ
y

x

Ángulo entre dos rectas en el plano tan α =

m2 − m1 1 + m1m2

Reglas Generalesde Derivación
d ( c) = 0 dx d ( cx ) = c dx d ( cx n ) = ncx n−1 dx d du dv dw ( u ± v ± w±L) = ± ± L dx dx dx dx d du ( cu) = c dx dx d dv du ( uv ) = u + v dx dx dx d dw dv du ( uvw) = u v +uw +vw dx dx dx dx

du dv d ⎛ u ⎞ v dx − u dx ⎜ ⎟= dx ⎝ v ⎠ v2
d n du ( u ) = nu n−1 dx dx

(

) (

)

dF dF du (Regla de la cadena) = dx du dx

1 du = dx dx du dF dF du = dx dx du

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