Formulas1

DP. - AS - 5119 – 2007

Matemáticas

ISSN: 1988 - 379X

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
PRODUCTO ESCALAR
a · b = |a| · |b| · cos(a, b)

Cuando sabemos el ángulo que forman a y b
Cuando sabemos las coordenadas de a y b
r
r
a = (a1 , a2 , a3 )
;
b = (b1 , b2 , b3 )

a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3

Cuando los vectores son perpendiculares su producto escalar será igual a 0.
r r
r r
a⊥ b ↔ a· b=0
PRODUCTO VECTORIAL
r
r
Dados los vectores
u (u1 , u2 , u3)
v (v1 , v2 , v3)
r r r
i
j k
r
r
u x v = u1 u 2 u3

v1

v2

v3
r

r

El vector que resulta de este determinante es perpendicular a u y v , y su módulo coincide
con el área del paralelogramo que forman u y v .
r r
r r
u || v ↔ u ·x v = 0
r

r

S paralelepípedo = | u x v |

;

S

triángulo

=

r
1 r
|u x v |
2

;

r r

r

Vparalelepípedo = | u , v ·, w |

COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE

Dados los puntos A(a, b, c ) y B (d, e, f ) el vector con origen en A y extremo en B se calcula:
AB = (d – a, e – b, f – c)
ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
r
P(x0 , y0 , z0 )
v (v1 , v2 , v3)
r
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0) + t v
Ecuaciones de la recta
r
P(x0 , y0 , z0)
v (v1 , v2 , v3)
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0) + t(v1 , v2 , v3)

Ecuaciónvectorial.

x = x0 + t·v1
y = y0 + t·v2

Ecuaciones paramétricas.

z = z0 + t·v3

x − x0
y − y0
z − z0
=
=
v1
v2
v3
 Ax + By + Cz + D = 0

 A' x + B' y + C ' z + D' = 0

Ecuación continua

Intersección de dos planos o ecuación general.

Para hallar el vector de una recta expresada como intersección de dos planos basta con
efectuar
a x b, siendo a = (A, B, C) y b = (A', B', C' )
Para hallar un puntosólo hay que darle a la "x" o a la "y" o a la "z" un valor arbitrario,
sustituirlo en el sistema y despejar las otras dos incógnitas.
Vector director de una recta dada por la intersección de 2 planos

 π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0

r: 

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r
d = nπ 1 x nπ 2
1

 Abel Martín
ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO
Es necesario conocer unpunto y 2 vectores directores:

r
v (v1 , v2 , v3)
r
r
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0) + t u + s v

P(x0 , y0 , z0 )

r
u (u1 , u2 , u3)

(x, y, z) = (x0 , y0 , z0) + t (u1 , u2 , u3) + s (v1 , v2 , v3)

Ecuación vectorial.

x = x0 + t·u1 + s· v1
y = y0 + t·u2 + s· v2

Ecuaciones paramétricas.

z = z0 + t·u3 + s· v3
Ecuación general o implícita

π:

x − x0
u1
v1

y − y0
u2
v2

z − z0
u3
v3

=0

Ax + By+ Cz + D = 0
ECUACIÓN SEGMENTARIA

x y z
+ + =1
a b c

Los valores a, b, c se denominan, respectivamente, abscisa, ordenada, y cota en el origen.
EN LA PRÁCTICA, FORMA HABITUAL DE HALLAR LA ECUACIÓN DE UN PLANO
Un plano π también se puede hallar sabiendo un punto y sólo un vector, siempre y cuando ese vector
r
sea perpendicular al plano ( nπ , denominado vector normal). Las coordenadas de esevector coinciden con los coeficientes (A, B ,C ) del plano.
Para determinar el término independiente D del plano, sólo hay que sustituir las coordenadas del
punto que nos den y despejar D.
r
π: Ax + By + Cz + D = O
→
nπ (A, B, C)
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
(A) Dadas dos rectas r y s por sus ecuaciones generales:
A B C 
A B C D 




 Ax + By + Cz + D = 0
A"x + B"y + C"z + D"= 0
 A'B' C' 
 A' B' C' D' 
M*
=
s: 
r:
M= 
 A" B" C" D" 
A'" x + B'" y + C'" z + D'" = 0
A" B" C" 
 A' x + B' y + C ' z + D ' = 0




 A'" B'" C'" D'"
 A'" B'" C'" 




Entonces se estudian los rangos de M y M*:
rg(M)
rg(M*)
Posición de las recta
Rectas cruzadas
Caso I
3
4
Rectas secantes
Caso II
3
3
Rectas paralelas
Caso III
2
3
Rectas coincidentes
Caso IV
2
2
(B) Dadas dosrectas r y s, de las que conocemos el vector director y un punto de cada una:
r
r
u (u1 , u2 , u3)
v (v1 , v2 , v3) A(x0 , y0, z0), B(x1 , y1, z1)
u2
u3 
 u1


 u1 u 2 u3 
 ; M* =  v1
M = 
v2
v3 
 v1 v2 v3 
x − x y − y z − z 
0
1
0
1
0
 1

Caso I
Caso II
Caso III
Caso IV
2

rg(M)
2
2
1
1

rg(M*)
3
2
2
1

GEOMETRÍA DE LA RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

Posición de las recta

Rectas...