Fourer

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La transformada de Fourier (por. fʊrieɪ), denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo(o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término serefiere tanto a la operación de transformación como  a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro defrecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función  de valores complejos y definida en la recta, con otra función  definida de la manera siguiente:

Donde  es, es decir,  tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado dealgunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables  y  suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —herzios— respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:

La constante  cancela las dimensiones asociadas alas variables obteniendo un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento deseñales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir,  corresponde al espectro de frecuencias de la señal.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier ysus generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de. He aquí algunas de ellas:
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La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que eslo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Definición formal
Sea  una función Lebesgue integrable:

Latransformada de Fourier de es la función

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que  es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable  está definida por:

Nótese que la únicadiferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados...