Fourier diente de sierra

Señales y Sistemas
Trabajo Práctico Nº 3

“Representación generalizada en Serie de Fourier”

Alumnos:

 Arias, Agustín  Arouxet, Mariano  Tomac, Guillermo

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Índice
Introducción…………………………………………………. 3 Planteo del problema y Desarrollo…………..………………. 3 Resultados…………………………………………………….6 Ploteos…………………………………………………….......6 Conclusión…………………………………………………..10 Bibliografía………………………………………………..... 11 Anexo………………………………... ………………….…..12

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Introducción
En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el Instituto de Francia que: cualquier señal periódica puede ser representada por una serie de sumas trigonométricas en senos y cosenos relacionadas armónicamente. Los argumentos establecidos porFourier eran imprecisos y en 1829 Dirichlet proporcionó las condiciones precisas para que una señal periódica pueda ser representada por una serie de Fourier. Fourier obtuvo además, una representación para señales no periódicas, no como suma de senoides relacionadas armónicamente, sino como integrales de senoides, las cuales no todas están relacionadas armónicamente. Al igual que las series de Fourier,la integral de Fourier, llamada Transformada de Fourier, es una de las herramientas más poderosas para el análisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo). En este Trabajo comenzaremos por definir la Serie Trigonométrica de Fourier de la función “Diente de Sierra”, calcularemos sus coeficientes y por último desarrollaremos un algoritmo en MATLAB para graficar al mismo tiempo lafunción diente de sierra y su aproximación por series, considerando 10, 20 y 40 armónicos.

Planteo del problema y desarrollo
Planteamos la función Diente de sierra:

Gráfica 1

Para resolver el problema planteado,hallamos los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier: 3

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Hallamos

:

Hallamos

:

Integrando por partes se llega a lasiguiente expresión:

Los dos términos dentro de la llave se anulan, por lo que Hallamos :

.

Integrando por partes se llega a la siguiente expresión:

Entonces, resumiendo:

4

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La serie Trigonométrica de Fourier para la función diente de sierra es:

Esta fórmula es la que, mediante el algoritmo que puede verse en el Anexo 1, fue realzada enMatlab. En primer lugar se definieron los valores “A”, “T”, “arm”, que corresponden a la máxima amplitud, el período, y la cantidad de armónicos (respectivamente). Estos valores, sin embargo, se trabajaron como variables en el algoritmo, para que puedan ser modificados sin afectar su funcionamiento. Luego se define el rango de valores en los cuales “se muestrea” la variable continua tiempo. Esterango, también puede ser modificado sin afectar el funcionamiento del programa. El tiempo se muestreó con un período de 0.01. Por último, se creó el algoritmo en sí. Este utiliza un bucle “for”, en el cual se “barren” todos los armónicos (el loop avanza desde 1 hasta el valor “arm”); para cada armónico define el y el y luego se realiza la sumatoria. Como esta sumatoria incluye al y es un vector, matlabda como resultado otro vector, que es la serie buscada. Esta serie se almacena con el nombre . Se puede agregar que la sumatoria no parte de 0 (cero) como suele hacerse, sino que se parte del elemento ao=(A*T)/2; Sf=ao; for n=1:arm bn(n)=-(A*T)/(pi*n); wn(n)=(2*pi*n)/(T); Sf=Sf+bn(n)*sin(wn(n)*t); end Sf; .

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Resultados
Una vez finalizados losalgoritmos para el cálculo y representación de la función diente de sierra y su aproximación por series de Fourier, se observo una buena exactitud. El cálculo se realizó en un primer momento en un solo período de la señal diente de sierra, y luego se comprobó también su buen funcionamiento en más de un período. Al aumentar el número de armónicos, se ve claramente que la Serie Trigonométrica se asemeja...