Fourier

1. Transformada Finita de Fourier
La transformada finita de Fourier es una modificación de las transformadas seno y coseno de Fourier; dada una función integrable de Lebesgue,la transformada seno tenía como expresión:

Mientras que la transformada coseno era:

Cuando se considera la función f definida en un intervalo finito, que, por convenienciase puede elegir de [0, π], y se considera que f es continua a trozos en él, se obtiene (salvo un factor), las correspondientes transformadas finitas.
Exactamente:

yObservar que la evaluación de la transformada finita seno en los puntos y=n, n=1, 2,. . . proporciona, precisamente, los coeficientes bn de la serie de Fourier de una función fcontinua a trozos que sea impar y 2π periódica.
Análogamente, la evaluación de la transformada finita coseno en los puntos y=0, 1, 2,. . . proporciona los coeficientes an de la seriede Fourier de una función f continua a trozos que sea par y 2π periódica.

Supongamos f integrable en [0, π]. Consideremos su extensión impar y 2π periódica, denotada de lamisma manera. Supongamos que f verifique que, para un punto x, exista un entorno [x − δ, x + δ] donde se cumplan las condiciones de Jordan. Entonces se puede escribir:Análogamente, si denotamos de nuevo por f su extensión par y 2π periódica, y si f verifica, como antes, para un punto x las condiciones de Jordan en un entorno, se puede escribir:

Lossiguientes resultados son inmediatos y se demuestran, simplemente, utilizando integración por partes:

Ahora sea f una función definida en un intervalo de [0, π], conderivada continua a trozos en ese intervalo. Entonces, se tiene:

y

Continuando con la segunda derivada, obtenemos las transformadas finitas del seno y coseno respectivamente: