Fourier
Páginas: 6 (1417 palabras)
Publicado: 29 de octubre de 2011
Introducción a Serie de Fourier
La serie de Fourier sirve para representar señales continuas periódicas por medio de una serie de componentes senoidales. Es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua por partes. Las series de Fourier tienen la siguiente forma:
[pic]
Donde [pic]y [pic]se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de lafunción [pic]
Condiciones de Dirichlet
Las condiciones que una determinada función f(x) debe cumplir para poder ser representada como una serie de Fourier, se conocen como el nombre de condiciones de Dirichlet, las cuales pueden ser esquematizadas en los siguientes puntos:
1) La función f(x) debe ser periódica.
2) La función f(x) debe ser univaluada y continua a trozos (continuamenos, en un número finito de puntos) con un número finito de máximos y mínimos.
3) La integral del módulo de la función, desde T/2 hasta –T/2 debe ser convergente. Donde
[-T/2; T/2] indica el intervalo de definición de una función con período T.
Además, es conveniente tener en cuenta que si la función tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.
· Si es una funciónpar, f(x)=f(-x), los términos bi son nulos.
· Si es impar f(x)=-f(-x), los coeficientes ai son nulos.
Por la identidad de Euler, también se puede expresar en su forma exponencial:
[pic]
Donde Cn es la amplitud armónica; t el instante que se analiza; T el período utilizado y n el número de armónica.
Espectro de frecuencia
El espectro de frecuencia de la serie de Fourier muestralas componentes sinusoidales que forman una señal dada de tiempo continuo. Generalmente es especificado en un espectro de amplitud y en uno de fase, como se realizará en el trabajo práctico. En el caso de las señales periódicas, el espectro de frecuencia de la señal se puede generar mediante la representación de la señal como una suma de sinusoides (serie de Fourier). También se puede representar eldominio de la frecuencia de una señal no periódica, que se define en términos de la Transformada de Fourier. A diferencia de una señal periódica, los espectros de una señal no periódica consisten en una continuación de frecuencias.
Desarrollo del Trabajo Práctico
El trabajo práctico consiste en analizar, por medio de un software, cómo se comportan distintos tipos de señales (triangular,diente de sierra y cuadrada) desde el punto de vista de la gráfica de su correspondiente Serie de Fourier.
Las señales a analizar son las siguientes:
1) Onda Cuadrada
[pic]
2) Onda Triangular
[pic]
3) Onda Diente de Sierra:
[pic]
A continuación, por medio de un software otorgado por la cátedra, analizaremos el comportamiento de cada una deestas funciones y sus respectivos espectros de amplitud y de fase.
1) Señal Cuadrada:
Con apenas un coeficiente ya se puede apreciar como la función va tomando la forma de onda (de ahí onda cuadrada).
[pic]
A medida que aumentamos los coeficientes, se ve como la aproximación a la función original a través de la serie de Fourier es mucho más precisa. Cuanto más ancho de banda hay, máscantidad de armónicas existen y más la hacen parecer a la señal cuadrada.
[pic]
Si los coeficientes fueran infinitos, la aproximación sería casi perfecta e ideal, resultando de la siguiente manera:
[pic]
La función cuadrática es una función es una función ¼ de onda impar por lo que su Serie de Fourier no tendrá términos cosenos y eso se puede observar fácilmente en el espectro demagnitud. Solo contribuyen las armónicas impares.
[pic]
Se puede ver como la armónica significativa que más aporta es la primera. Luego el aporte de cada una de ellas va disminuyendo hasta que a partir de la armónica 16 la contribución pasa a ser casi nula.
[pic]
En cuanto al espectro de fase, se puede apreciar la figura en forma de espejo invertido. Para los n impares es constante,...
La serie de Fourier sirve para representar señales continuas periódicas por medio de una serie de componentes senoidales. Es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua por partes. Las series de Fourier tienen la siguiente forma:
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Donde [pic]y [pic]se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de lafunción [pic]
Condiciones de Dirichlet
Las condiciones que una determinada función f(x) debe cumplir para poder ser representada como una serie de Fourier, se conocen como el nombre de condiciones de Dirichlet, las cuales pueden ser esquematizadas en los siguientes puntos:
1) La función f(x) debe ser periódica.
2) La función f(x) debe ser univaluada y continua a trozos (continuamenos, en un número finito de puntos) con un número finito de máximos y mínimos.
3) La integral del módulo de la función, desde T/2 hasta –T/2 debe ser convergente. Donde
[-T/2; T/2] indica el intervalo de definición de una función con período T.
Además, es conveniente tener en cuenta que si la función tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.
· Si es una funciónpar, f(x)=f(-x), los términos bi son nulos.
· Si es impar f(x)=-f(-x), los coeficientes ai son nulos.
Por la identidad de Euler, también se puede expresar en su forma exponencial:
[pic]
Donde Cn es la amplitud armónica; t el instante que se analiza; T el período utilizado y n el número de armónica.
Espectro de frecuencia
El espectro de frecuencia de la serie de Fourier muestralas componentes sinusoidales que forman una señal dada de tiempo continuo. Generalmente es especificado en un espectro de amplitud y en uno de fase, como se realizará en el trabajo práctico. En el caso de las señales periódicas, el espectro de frecuencia de la señal se puede generar mediante la representación de la señal como una suma de sinusoides (serie de Fourier). También se puede representar eldominio de la frecuencia de una señal no periódica, que se define en términos de la Transformada de Fourier. A diferencia de una señal periódica, los espectros de una señal no periódica consisten en una continuación de frecuencias.
Desarrollo del Trabajo Práctico
El trabajo práctico consiste en analizar, por medio de un software, cómo se comportan distintos tipos de señales (triangular,diente de sierra y cuadrada) desde el punto de vista de la gráfica de su correspondiente Serie de Fourier.
Las señales a analizar son las siguientes:
1) Onda Cuadrada
[pic]
2) Onda Triangular
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3) Onda Diente de Sierra:
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A continuación, por medio de un software otorgado por la cátedra, analizaremos el comportamiento de cada una deestas funciones y sus respectivos espectros de amplitud y de fase.
1) Señal Cuadrada:
Con apenas un coeficiente ya se puede apreciar como la función va tomando la forma de onda (de ahí onda cuadrada).
[pic]
A medida que aumentamos los coeficientes, se ve como la aproximación a la función original a través de la serie de Fourier es mucho más precisa. Cuanto más ancho de banda hay, máscantidad de armónicas existen y más la hacen parecer a la señal cuadrada.
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Si los coeficientes fueran infinitos, la aproximación sería casi perfecta e ideal, resultando de la siguiente manera:
[pic]
La función cuadrática es una función es una función ¼ de onda impar por lo que su Serie de Fourier no tendrá términos cosenos y eso se puede observar fácilmente en el espectro demagnitud. Solo contribuyen las armónicas impares.
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Se puede ver como la armónica significativa que más aporta es la primera. Luego el aporte de cada una de ellas va disminuyendo hasta que a partir de la armónica 16 la contribución pasa a ser casi nula.
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En cuanto al espectro de fase, se puede apreciar la figura en forma de espejo invertido. Para los n impares es constante,...
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