Fourier
Páginas: 5 (1201 palabras)
Publicado: 17 de julio de 2012
1. Función periódica
Función que repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable.
Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al menor número p se le llama período. Por ejemplo, y = sen (x) es una función periódica con un período de 2 porque 2 es el menor número p que hace que sen (x+p) = sen (x) para todas las x.
2.Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (comocombinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada enmuchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puedeoptimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
3. Coeficiente de fourier
Un ´último aspecto, relacionado con los coeficientes de Fourier, que vamos a comentar implica dos conceptos aparentementealejados: el grado topológico de Brouwer de una aplicación continua y los coeficientes de Fourier de dicha aplicación (si viviésemos lo suficiente, al final tendríamos oportunidad de comprobar que todo en matemáticas está relacionado). Si B1 es la bola cerrada unidad de R2 y g : B1 → R2 es una aplicación continua que no se anula en la frontera de B1, sabemos que su grado topológica está bien definido.Si definimos la función 2π− periódica h(x) = g(exp(ix)), puede demostrarse que, si g es una función de clase C1, entonces
deg(g) =
X+∞
n=−∞
n|hn|2,
Donde hn son los coeficientes de Fourier de la función h respecto de la base
{exp(inx), n ∈ N}. De hecho, (42) fue probado por Brezis y Nirenberg bajo condiciones más generales ([8]). También conjeturaron que (42) deber´ıa ser verdad parafunciones continuas g. La respuesta negativa a esta conjetura ha sido dada por Korevaar en 1999 ([26]).
4. Ecuación de Euler
Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fácilmente la ecuación de las curvas geodésicas en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x1, ...xn) sobre una región abierta U de la variedad deRiemann VR donde el tensor métrico viene dado por la expresión:
Puesto que dados dos puntos cualquiera de VR las geodésicas son las líneas de mínima longitud entre ellos podemos plantear el siguiente problema variacional, para el cuadrado de la longitud de una curva:
La minimización de la expresión anterior al ser la raíz una función monótona, es equivalente a la minimización de unaintegral de acción donde el lagrangiano sea:
De ahí que la ecuación diferencial de las geodésicas venga dada por:
La ecuación anterior de hecho puede, usando la simetría del tensor métrico, escribirse como:
Que en términos de los símbolos de Christoffel (de primera o segunda especie) sencillamente como:
Donde se han definido los símbolos de Christoffel como a partir de las derivadas...
Función que repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable.
Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al menor número p se le llama período. Por ejemplo, y = sen (x) es una función periódica con un período de 2 porque 2 es el menor número p que hace que sen (x+p) = sen (x) para todas las x.
2.Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (comocombinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada enmuchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puedeoptimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
3. Coeficiente de fourier
Un ´último aspecto, relacionado con los coeficientes de Fourier, que vamos a comentar implica dos conceptos aparentementealejados: el grado topológico de Brouwer de una aplicación continua y los coeficientes de Fourier de dicha aplicación (si viviésemos lo suficiente, al final tendríamos oportunidad de comprobar que todo en matemáticas está relacionado). Si B1 es la bola cerrada unidad de R2 y g : B1 → R2 es una aplicación continua que no se anula en la frontera de B1, sabemos que su grado topológica está bien definido.Si definimos la función 2π− periódica h(x) = g(exp(ix)), puede demostrarse que, si g es una función de clase C1, entonces
deg(g) =
X+∞
n=−∞
n|hn|2,
Donde hn son los coeficientes de Fourier de la función h respecto de la base
{exp(inx), n ∈ N}. De hecho, (42) fue probado por Brezis y Nirenberg bajo condiciones más generales ([8]). También conjeturaron que (42) deber´ıa ser verdad parafunciones continuas g. La respuesta negativa a esta conjetura ha sido dada por Korevaar en 1999 ([26]).
4. Ecuación de Euler
Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fácilmente la ecuación de las curvas geodésicas en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x1, ...xn) sobre una región abierta U de la variedad deRiemann VR donde el tensor métrico viene dado por la expresión:
Puesto que dados dos puntos cualquiera de VR las geodésicas son las líneas de mínima longitud entre ellos podemos plantear el siguiente problema variacional, para el cuadrado de la longitud de una curva:
La minimización de la expresión anterior al ser la raíz una función monótona, es equivalente a la minimización de unaintegral de acción donde el lagrangiano sea:
De ahí que la ecuación diferencial de las geodésicas venga dada por:
La ecuación anterior de hecho puede, usando la simetría del tensor métrico, escribirse como:
Que en términos de los símbolos de Christoffel (de primera o segunda especie) sencillamente como:
Donde se han definido los símbolos de Christoffel como a partir de las derivadas...
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