fourier

 

Serie
 de
 Fourier
 
Señales
 y
 Sistemas
 
Facundo
 Ramón
 

RESUMEN
 
Representación,
 con
 un
 algoritmo
 creado
 en
 MatLab
 R2010a,
 de
 una
 señal
 
periódica
 con
 la
 Serie
 de
 Fourier
 y
 análisis.
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  

 

 

 
Universidad
 Nacional
 de
 Tres
 de
 Febrero
 
Ingeniería
 de
 Sonido
 
1er
 Cuatrimestre
 2011
 


 

Seminario
 Señales
 y
 Sistemas
 


 

Ramón
 Facundo
 

Objetivo
 
El
  objetivo
  del
  trabajo
  es
  calcular
  los
  coeficientes
  de
  Fourier
  para  la
  siguiente
 
función.
 

 

 

(1)
 
Y
 obtener
 un
 algoritmo
 que
 pueda
 graficar
 la
 serie
 y
 permita
 variar
 su
 número
 de
 
armónicos
 para
 poder
 apreciar
 las
 diferentes
 aproximaciones.
 

Cálculo
 de
 los
 Coeficientes
 
Primero
 es
 pertinente
 definir
 la serie
 de
 Fourier.
 

 


 


 

(2)
 

(3)
 


 

(4)
 
Ahora
 se
 puede
 proceder
 al
 cálculo
 de
 los
 coeficientes
 !!
 y
 !!
 relacionados
 a
 !(!).
 
Se
 considera
 a
 !(!)
 una
 función
 periódica
 de
 periodo
 ! = 4,
 y
 se
 toma
 el
 intervalo
 [−2,2]
 para
 la
 integración.
 

 


 
Ahora
 se
 calcula
 !! .
 

 

(5)
 


 
(6)
 
Para
 resolver
 (6)
 es
 necesario
 realizar
 un
 cambio
 de
 variables.
 

 

Universidad
 Nacional
 de
 Tres
 de
 Febrero
 –
 Ing.
 De
 Sonido
 

1
 

 

Seminario
 Señales
 y Sistemas
 


 

Ramón
 Facundo
 


 

(7)
 

Aplicando
 (7)
 en
 (6)
 se
 obtiene:
 

 

 
(8)
 

Resolviendo
 (8)
 se
 llega
 al
 valor
 de
 !! .
 

 

 

(9)
 
Dado
  que
 !(!)
 es
  una
  función
  impar,
  los
  componentes
  pares
  de
  su
  serie
  de  Fourier
 
son
 nulos.
 Es
 por
 esto
 que
 !!
 es
 siempre
 nula.
 
Ahora
 se
 calcula
 !! .
 

 


 
(10)
 
Al
  igual
  que
  en
  el
  caso
  anterior,
  es
  necesario
  realizar
  un
  cambio
  de
  variables.
  Se
 
usa
 el
 cambio
 realizado
 en
 (7).
 Y aplicando
 en
 (10)
 se
 obtiene.
 

 

 
(11)
 

Resolviendo
 (11)
 se
 obtiene
 el
 valor
 de
 !! .
 

 

 

 

(12)
 
Analizando
  (12)
  se
  puede
  observar
  que
  valdrá
  cero
  cuando
 !
 sea
  par,
  dado
  que
 
!
para
 !
 par
 cos !" = 1.
 Mientras
 que
 para !
 impar
 !! = !"
 .
 Por
 lo
 tanto:
 

 


 

(13)
 

Desarrollo
 del
 Algoritmo
 
Con
 los
 coeficientes
 calculados
 manualmente,
 es
 posible
 realizar
 un
 algoritmo
 que
 
realice
 las
 sumatorias
 de
 la
 ecuación
 (2).
 

Universidad
 Nacional
 de
 Tres
 de
 Febrero –
 Ing.
 De
 Sonido
 

2
 

 

Seminario
 Señales
 y
 Sistemas
 


 

Ramón
 Facundo
 

Se
 crea
 una
 variable
 N
 la
 cuál
 define
 el
 número
 de
 armónicos
 que
 tendrá
 la
 serie.
 
Luego
  se
  crea
  un
  vector
  x
  que
  cubre
  el
  intervalo
  de...