Fourier

SEÑALES Y SISTEMAS
SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER

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ANALOGIA ENTRE SEÑALES Y VECTORES
•  ANALOGIA ENTRE SEÑALES Y VECTORES

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Para entender o recordar un problema se lo asocia con algún fenómeno conocido. Por eso, siempre tratamos de buscar analogías al estudiar un nuevo problema. En el estudio de problemas abstractos, las semejanzas resultan muy útiles, particularmente si elproblema es análogo a algún fenómeno concreto. Entonces es fácil obtener alguna idea del problema nuevo a partir del conocimiento del fenómeno correspondiente. Afortunadamente existe una analogía perfecta entre los vectores y las señales que permiten un mejor conocimiento del análisis de señales.

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ANALOGIA ENTRE SEÑALES Y VECTORES
Análisis de señales
Interpretación vectorial:Designamos a los vectores con letras mayúsculas y en negrita y su módulo por su letra mayúscula solamente.

A =A

A
Sean ahora dos vectores por:

V1 y V2 como se muestra en la figura cuyo producto escalar es un escalar dado V1 . V2 =V1 .V2 cos θ

V1 . V2 =V1 .V2 cos θ

V1

θ

V2

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ANALOGIA ENTRE SEÑALES Y VECTORES
Supongamos que deseamos aproximar el vector Queremos encontraruna aproximación:

V1 en función del vector V2 , lo más cercano posible.

V1 = C12 . V2
Es evidente que la mejor aproximación buscada será óptima cuando la diferencia entre la aproximación y el vector V1 sea mínima. El vector C12 . V2 estará en la dirección de V2 , es decir, será una parte mayor o menor que V2 . Para que la aproximación sea óptima, debemos considerar la distancia que hayentre el extremo del vector V1 y la cabeza de la aproximación. Por lo tanto la mejor aproximación será aquella que haga esta distancia mínima.

V1 = C12 V2 + Ve

(1.1)

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ANALOGIA ENTRE SEÑALES Y VECTORES
V1

V1 = C12 V2 + Ve

Ve

θ
C12 V2

α
V2

Es evidente que la aproximación será mejor cuando α = 90º y Ve sea mínima.

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Además de la figura

ANALOGIA ENTRE SEÑALES YVECTORES
C12 V2 =V1 .cos θ

Este valor lo podemos expresar en función del producto escalar de esta forma:

V1 .cos θ =

V1 . V2 = C12 . V2 V2

Con esto queremos decir que la mejor aproximación será aquella dada por un vector en la dirección de cuyo módulo cumpla con la ecuación anterior.

V2 ,

V1 . V2 = C12 V2 V2
Operando en la anterior, obtenemos:

V1 . V2 (1.2) 2 V2 Entonces paraencontrar el vector que más se aproxima a V1 en función de V2 , debemos encontrar la constante C12 mediante la fórmula anterior. Si C12 = 0 , esto implica que un vector no tiene componente a lo largo del otro vector. Es decir, en este caso V1 y V2 son ortogonales, son vectores independientes. (1.3) V1 . V2 = 0 C12 =
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ANALOGIA ENTRE SEÑALES Y VECTORES
Señales
El concepto de comparación yortogonalidad de vectores se puede extender a las señales. Sean dos señales f1 t y f 2 t , y se desea aproximar f1 t en términos de f 2 t en un cierto intervalo t1 < t < t 2 de la siguiente manera: (1.4) f1 t ≅ C12 f 2 t en t1 < t < t 2

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)

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)

¿Cómo seleccionaremos C12 para obtener la mejor aproximación? Obviamente, debemos encontrar un valor paraC12 tal que el error entre la función real y la aproximación sea mínimo en el intervalo Definamos una función error f e (t ) : (1.5) f e (t )= f1 (t )− C12 f 2 (t ) uno de los criterios para reducir al mínimo el error f e (t ) en el intervalo t1 a t2 es reducir el valor promedio de f e (t ) en este intervalo; es decir reducir al mínimo la expresión t2 1 ∫t1 [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]dt (t 2 − t1 )(t1 < t < t 2 ).

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ANALOGIA ENTRE SEÑALES Y VECTORES
Sin embargo, el criterio resulta inadecuado, pues tal vez existan errores positivos y negativos grandes que se cancelen entre sí durante el proceso de promediar, de donde se tendrá una indicación falsa de que el error es cero. Por ejemplo, si aproximamos la función sen t con una función nula f t = 0 en el intervalo

()

de 0 a...