Fourier

Cuando estas formulas fueron introducidas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos matematicos pensaron que era imposible expresar una funcion fx cualquiera comosuma de senos y cosenos. Fue ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargo de recopilar datos para convercer al mundo cientifico de tal posibilidad.
Definicion:
Se llama serie de Fourier de una funcion fx en el intervalo –π,π a :fx=a02+n=1∞ancosnx+bnsinnx *
A los coeficientes a0,a1, … ,an,b0,b1, … , bn se les llama coeficientes de Fourier de fx en –π,π.
Debia a que:
-ππsinmx sinnx dx=0 ≠0si n≠msi n=m -ππcosnx dx=0 -ππsinnx dx=0
-ππcosmx cosnx dx=0 ≠0sin≠msi n=m -ππsinmx cosnx dx=0
E integrando termino a termino en la igualdad * obtenemos:
-ππfxcosnx dx=an-ππcos 2x dx=anπan=1π-ππfxcosnx dx
-ππfx dx= a022π a0=1π-ππfx dx
-ππfxsinnx dx= bn-ππsin 2x dx=bnπ bn=1π-ππfxsinnx dx

Las anteriores propiedades de las funciones sinnx, cosmx se pueden resumir en que el sistema
1, sinx, sin2x, … , cosx,cos2x …
Es un sistema ortogonal de funciones reoecto del producto escalar fx, gx=-ππfxgx dx y la serie de fourier no es mas que la expresion de un vector fc como combinacion linealde los vectores de la anterior base ortogonal.
Definicion: se llama serie de Fourier de una funcion fx en el intervalo –L, L a:
fx~a02+n=1∞ancosnπLx+bnsinnπLx
Donde
a0=1L-LLfx dx an=1L-LLfxcosnπLx dx
bn=1L-LLfxsinnπLx dx
Este hecho se basa en que el sistema de vectores
1, sinπxL, sin2πL, … , cosπxL,cos2πxL, …
Es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalarfx, gx=-LLfxgx dx
Analogicamente se puede definir la serie de Fourier de una funcion fx definida en un intervalo a, b haciendo una traslacion del punto medio a+b2 al origen.
Tomo L=b-a+b2=b-a2 -L=a-a+b2=a-b2
Definicion: se llama serie de Fourier de una funcion fx en el intervalo a, b a
fx=a02+n=1∞ancosnπb-a2x+bnsinnπb-a2x
Donde
a0=2b-aabfx dxan=2b-aabfxcos2nπb-ax dx
bn=2b-aabfxsin2nπb-ax dx
Las series anteriores tambien se podrian haber escrito de la forma:
fx~C0+n=1∞Cncosnωdt-θn
Donde
Cn=an2+bn2, cosθn=anan2+bn2
sinθn=bnan2+bn2 θn=arctanbnan
Siendo ω0=1, πL, 2πb-a según hayamos utilizado una de las tres formulas anteriores.
La componente sinusoidal de frecuencia ωn=nω0 se denomina la enesima armonica de la funcion periodica.La primera armonica se conoce comunmente con el nom,bre de fundamental porque tiene el mismo periodo que la funcion y ω0=2πT se conoce con el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes cn y los angulos θn se conocen como amplitudes armonicas y angulos de fase, respectivamente. En musica, a la primera armonica, segunda armonica, etc. Se le suele llamar fundamental, primer tono,segundo tono, etc.

Convergencias de la series de Fourier
Teorema: teorema de la convergencia puntual para series de Fourier
Si fx y f'x son continuas a trozos en –L, L, entonces , entonces ∀x∈-L, L se verifica:
a02+n=1∞ancosnπL+bnsinnπLx= 12fx++fx-
Para x=± L la serie de Fourier converge a 12f-L++fL-
Teorema: teorema de convergencia uniforme de series de Fourier
Sea fx una funcion continua en-∞, ∞ y con periodo 2L. Si f'x es continua a trozos en –L, L, entonces la serie de Fourier de fx converge uniformemente a fx en –L, L y por consiguiente en cualquier intervalo.
Diferenciacion de series de Fourier
Teorema:
Sea fx una funcion continua en -∞, ∞ y con periodo 2L. Sean f'x, f''x continuas por segmentos en –L, L. Entonces la serie de Fourier de f'x se puede obtener de la serie deFourier de fx mediante diferenciacion termino a termino. En particular, si
fx=a02+n=1∞ancosnπLx+bnsinnπLx
Entonces
f'x=n=1∞nπL-ansinnπLx+bncosnπLx

Integracion de series de Fourier
Teorema:
Sea fx continua a trozos en –L, L con serie de Forurier
fx~a02+n=1∞ancosnπLx+bnsinnπLx
Entonces ∀x∈-L, L se verifica:
-Lxft dt=-Lxa02+n=1∞-LxancosnπLt+bnsinnπLt dt
Formula de Parseval
Los...