Fourier

Univ. de Alcal´ de Henares a Complementos de matem´ticas. a

Ingenier´ T´cnica Industrial ıa e Curso 2004-2005

Colecci´n de ejercicios del tema 4 o
Definici´n y c´lculo de la transformada Z o a
1. Sean x1 [t] y x2 [t] dos se˜ales peri´dicas con per´ n o ıodos fundamentales N1 y N2 respectivamente. ¿Bajo qu´ condiciones la suma x1 [t] + x2 [t] es peri´dica? Si es peri´dica ¿cu´l es e o o ael per´ ıodo fundamental de esta se˜al? n 2. Determinar si cada una de las siguientes se˜ales es o no peri´dica. Si es peri´dica, detern o o minar su per´ ıodo fundamental. a) x [t] = cos b) x [t] = e
8π 7 t t i( 8 −π ) πt2 8

+2

c) x [t] = cos d ) x [t] = e) x [t] =
∞

δ [t − KN ] cos
πt 4 πt 4 πt 8

k=−∞ t cos 4 ∞

f ) x [t] = 2 cos g) x [t] = h) x [t] =

+ sen

− 2 cos

πt2

+

π 6

(δ [t − 3m] − δ [t − 1 − 3m]) sen
π 7t

i ) x [t] = e j ) x [t] = e k ) x [t] =

m=−∞ cos πt + 9 i 5π t 6
5π t 6

+

1 2

∞ m=−∞

(δ [t − 2m] + 2δ [t − 3m])

3. Hallar el desarrollo en serie de Fourier de cada una de las siguientes se˜ales: n 3π t 4 2π π b) x [t] = 4 cos t sen t 3 2 π π 1 c) x [t] = cos t + sen t+ 9 7 2 d ) x [t] es la extensi´n peri´dica de lase˜al (2, −1, 1, 2) . Es decir o o n a) x [t] = cos x = (..., 2, −1, 1, 2, 2, −1, 1, 2, 2, −1, 1, 2, ...) e) x [t] es la extensi´n peri´dica de la se˜al (1, −1, 0, 1, −1) o o n f ) x [t] es peri´dica, de per´ o ıodo 8, y se tiene x [t] = 1 si 0 ≤ t ≤ 3 0 si 4 ≤ t ≤ 7 1

g) x [t] es peri´dica, de per´ o ıodo 6, y se tiene x [t] = t si 0 ≤ t ≤ 3 0 si 4 ≤ t ≤ 5

h) x [t] = cos i) j) k) l)

∞ 2πt + (−1)k δ [t − k] 3 k=−∞ π x [t] = 4 sen (t − 2) 3 2π 2π x [t] = cos t + sen t 3 5 2π 2π x [t] = cos t sen t 3 5 x [t] = (..., −2, −1, 0 , 1, 2, −2, −1, 0, 1, 2, −2, −1, ...)

m) x [t] = (..., 1 , 2, −1, 0, −1, 2, 1, 2, −1, 0, −1, 2, ...) n) x [t] = 1, −∞ < t < ∞ n) x [t] = (−1)t , −∞ < t < ∞ ˜ πt πt 1 3πt o) x [t] = 2 + 2 cos + cos + cos 4 4 2 4 4. Los coeficientes de Fourier X [k] de unase˜al peri´dica x [t] de per´ n o ıodo 8 son X[1] = 16, X[3] = 32i, X[5] = −32i, X[7] = 16 Los restantes coeficientes son cero. Escribir esta se˜al en la forma: n x[t] = c1 cos(α1 t) + c2 sen(α2 t) 5. Los coeficientes de Fourier X [k] de una se˜al peri´dica x [t] de per´ n o ıodo 5 son X[0] = 5, X[1] = X[4] = 10e 3 , X[2] = X[3] = 5e 4 Los restantes coeficientes son cero. Escribir esta se˜al en laforma: n x[t] = c0 + c1 cos(α1 t) + c2 sen(α2 t) 6. a) Si x[t] es una se˜al peri´dica, y todos sus valores son n´meros reales (se˜al real) n o u n decimos que es una se˜al impar cuando se cumple n x[−t] = −x[t] Demostrar que si x[t] es una se˜al real impar entonces sus coeficientes de Fourier son n n´meros imaginarios puros (de la forma c · i para un c real), y adem´s: u a X[−k] = −X[k] b) Una se˜alx[t] es real, impar y peri´dica, con periodo fundamental 7. Adem´s se n o a cumple: X[1] = 7i, X[2] = 14i, X[3] = 21i Calcular X[0], X[4], X[5], X[6] y escribir la se˜al como suma de se˜ales trigonom´trin n e cas. 2
πi πi

7. Calcular la convoluci´n peri´dica de estas se˜ales 6-peri´dicas. o o n o  x = (. . . , 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, . . .) 1 x = (. . . , 1, −2, −2, 1, 1, 1, 1,−2, −2, 1, 1, 1, . . .)
2

8.

a) Calcular la convoluci´n peri´dica de estas se˜ales 4-peri´dicas. o o n o  x = (. . . , 1, −1, 2, 1, 1, −1, 2, 1, . . .) 1 x = (. . . , 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, . . .)
2

b) Calcular la convoluci´n circular de 4 puntos x1 4 x2 de estas se˜ales de duraci´n o n o finita. x1 = (. . . , 0, 0, 1, −1, 2, 1, 0, 0, . . .) x2 = (. . . , 0, 0, 0, 1, 2, 3, 0, 0, . ..) Comparar con el ejercicio anterior. c) Considerando a las se˜ales del primer apartado como se˜ales 8-peri´dicas, calcular n n o su convoluci´n 8-peri´dica. Indicaci´n: no hay que trabajar mucho. o o o d ) Calcular la convoluci´n circular de 8 puntos de las se˜ales de duraci´n finita del o n o segundo apartado (usar el rellenado con ceros). Comparar con el apartado anterior. e) Calcular la...