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Se establece una analogía vectorial
Sea g(x) una función definida para todos los valores x del intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Si consideramos esta función como un vector, sus componentes son los valores que toma para
cada x del intervalo
Dos funciones como vectores: f x

y g(x)

en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Producto interior
b

f x g x dx
a

Por ello si dos funciones son ortogonales, el producto interno esnulo
Norma de la función
b

(f x )2 dx
a

Una función normalizada será tal que el producto interior por si misma tiene como resultado
el valor uno
b

f. f dx

f, f =
a

Un conjunto de funciones

[

b 2
f
a

=

dx]2

b
f. f dx
a
b 2
f dx
a

=1

∅j ortonormal en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 cumplirá
b
a

∅j ∅k dx =

0
1

j≠k
j=k

j = 1,2,3, …

Una función f x podrá expandirse según esa sucesión de funciones∅j , como una serie
∞

f x =

cj ∅j x
j=1

Las constantes apropiadas, ck pueden obtenerse, multiplicando por ∅k (x )
∞

f x ∅k (x) =

cj ∅j x ∅k (x)
j=1

Integrando
∞

b
a

b

f x ∅k (x) dx =

cj
j=1

b
a

∅j ∅k dx =

0
1

a

∅j x ∅k (x)dx = ck

j≠k
j=k

j = 1,2,3, …

b

ck =

a

f x ∅k (x) dx

k = 1,2,3 …

El problema que se presenta es:
La serie

∞
j=1 cj

∅j x

contiene todas las funciones ∅jx

necesarias para la expansión.?

∅j x es un conjunto completo.?
Y aun siendo completo, como saber si la serie representa a la función f(x)
Definición
Una sucesión ∅j x

de funciones ortonormales j=1,2,3,….. se dice que es un conjunto

ortonormal completo en el intervalo [a,b], si para todas las funciones f(x), cuya

b
(f
a

x )2 dx

existe, se cumple:
1
lim En = lim
n→∞
n→∞ (b − a)

n

bDonde
1
En =
(b − a)

cj ∅j ] 2 dx = 0

[f x −
a

j=1

n

b

cj ∅j ] 2 dx

[f x −
a

j=1

Representa el error medio cuadrático de aproximar con los n primeros términos de esta serie
la función f(x)

Operando:
n

2

n
2

[f x −

2

cj ∅j ] = f x

+

cj ∅j

j=1

n

−2f x

cj ∅j =

j=1

j=1

n
2

= f x

n

+

cj cj ∅j ∅j +

cj ck ∅j ∅k − 2

j=1

j≠k

cj ∅j f x
j=1

Integrando

n

b

cj ∅j ] 2 dx =

[f x−
a

j=1

n

b

=

f x

2

a

j=1

n

b
a

b

− 2

cj
j=1
b

=

cj 2

dx +

f x

a

f x

2

a

∅j ∅k dx
n

2

cj 2

cj − 2
j=1

j=1

cj 2

dx −

a

a

n

dx +

n
2

cj ck
j≠k

b

f(x)∅j dx =

b

∅j 2 dx +

j=1

Si se cumple que el conjunto ortonormal es completo entonces
n

b

lim

n→∞ a

f x

cj 2 = 0

dx −
j=1
∞

b

f x
a

2

2

cj 2

dx =
j=1

Llamada igualdad de Parseval
Si se cumple esto paracualquier función f(x), la serie propuesta converge en media
cuadrática, aunque esto no asegura la convergencia puntual

El siguiente conjunto de funciones constituye una base ortogonal
jπx
jπx
; sin
L
L

1 ; cos

j = 1,2,3 …

El intervalo que se considera es
𝑎 = −L ≤ x ≤ L = 𝑏
Su normalización involucra el cociente por su norma, que calculamos
L

12 dx =

2L

−L
L

[cos

jπx 2
] dx =
L

L

[sinjπx 2
] dx =
L

L

−L
L
−L

Queda entonces el conjunto ortonormal
1

1

;

2L

L

cos

jπx 1
jπx
;
sin
j = 1,2,3, …
L
L
L

Se cumplen:
𝐿

1

2L L

−𝐿
𝐿

1

−𝐿

1
L
𝐿
−𝐿

cos

1

2L L

−𝐿
𝐿

1

cos
1
L

sin

cos

jπx 1
kπx
0 j≠k
cos
dx =
1 j=k
L L
L

−𝐿

−𝐿

1
L

jπx
dx = 0 j = 1,2,3, …
L

jπx 1
kπx
sin
dx = 0 para todo j,k
L
L
L

𝐿

𝐿

jπx
𝑑𝑥 = 0 j = 1,2,3, …
L

sin

1
2L

2

dx = 1

jπx 1
kπx
0j≠k
sin
dx =
1 j=k
L L
L

Entonces una función f(x) podrá desarrollarse según la serie trigonométrica de Fourier
∞

1

f x = a′0

+

2L

1

a′j

L

j=1

jπx
+ b′j
L

cos

1
L

sen

jπx
L

Donde los coeficientes se obtienen según el criterio establecido
b

ck =

a

f x ∅k (x) dx

k = 1,2,3 …

Para este conjunto resulta, multiplicando convenientemente la serie propuesta por
1
L

cos

kπx
L

Integrandoen el intervalo
L

1

f x

L

−L

cos

kπx
dx =
L
1
= a′0
2L
∞

+

a′j
j=1

1

+ b′j

L

L
−L

1
L
1
L

1
L

cos

kπx
dx
L

L

1

cos

L

−L
L

cos
−L

kπx
jπx
cos
dx
L
L

kπx
jπx
sen
dx
L
L

Para k=1,2,3, …

L

1

kπx
1 1
cos
dx = a′k
L
L
L L

f x
−L

1

L

kπx
kπx
1 1
cos
cos
dx = a′k
L
L
L L
−L

L

kπx
1 1
f x cos
dx = a′k
L
L −L
L L
= a′k

1
L

1
L

a′k =

kπx
kπx 2
1 1 x sin 2 L
[cos
]...