FQAFC

ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

EMSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA
ESTRUCTURA



El llamado método de la rigidez usa las propiedades de rigidez de los miembros que componen una estructura para formar un sistema de ecuaciones simultáneas que relacionan los desplazamientos de una estructura con las cargas que actúan sobre la misma. El sistema es de la forma:

Q = KD
Ecuación 4.1Donde:
Q = vector columna de las cargas externas.
K = matriz de rigidez de la estructura.
D = vector columna de los desplazamientos externos.

Los desplazamientos correspondientes a un sistema dado de cargas externas se obtienen al resolver el conjunto de ecuaciones simultáneas. A su vez, las fuerzas internas en los miembros de la estructura se obtienen a partir de los desplazamientoscalculados y de las propiedades de rigidez de cada miembro. El método de la rigidez puede usarse para el análisis de una gran variedad estructuras, aún las más grandes y complejas.

Aquí se puede mostrar cómo ensamblar la matriz de rigidez K de una estructura. El primer paso que se debe dar es expresar las matrices de rigidez de los miembros en coordenadas globales.



TRANSFORMACION DE LAMATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO
DE COORDENADAS LOCALES GROBALES


Las matrices de rigidez de miembros relacionan las fuerzas con los desplazamientos en las que tanto las primeras como los últimos están expresados en coordenadas locales, es decir, en un sistema de referencia orientado como lo está el miembro estructural (Ecuaciones 2.3, 2,5, 2.6, 2.8, 2.9 y 2.1
Para efectos de obtener unamatriz de rigidez general de la estructura es necesario que todas y cada una de las matrices de rigidez de sus miembros se expresen en coordenadas globales, es decir, en un sistema de referencia único para toda la estructura. La forma de estas ecuaciones transformadas es:

Q=KD
Ecuación 4.2

Donde:
Q = vector columna de las fuerzas internas encoordenadas globales.
k = matriz de rigidez del miembro en coordenadas globales.
D = vector columna de los desplazamientos en coordenadas globales.

La transformación de la matriz de rigidez de un miembro de coordenadas locales a
Globales (k) puede lograrse con la matriz de transformación de desplazamientos A.

Reemplazando la Ecuación 4.1 se tiene:

q = k AD
Ecuación 4.3


Ahorabien, puesto que los vectores de fuerza y desplazamiento en cada caso tienen la misma orientación y sentido, la matriz de transformación de desplazamientos A, también relaciona los vectores de fuerzas expresados en ambos sistemas de coordenadas, es decir:


q = AQ
Ecuación 4.4T




Donde:

q = Vector de fuerzas en coordenadas locales

Q= Vector de fuerzas en coordenadas globales

A= Matriz de transformación de desplazamientos

Además, en todos los casos se verifica que A es una matriz ortogonal, es decir una en la que la transpuesta (AT) es igual la inversa (A-1), y por lo tanto de la Ecuación 4.4 puede decirse que:


Q= ATq
Ecuación 4.5

Reemplazando la ecuación 4.3 en la ecuación 4.5 se obtiene:


Q=ATK AD
Ecuación 4.6Por último, comparando las ecuaciones 4.2 y 4.6 puede concluirse que:

K =ATKA
Ecuación 4.7

La Ecuación 4.7 se aplica a todos los miembros para obtener para cada uno de ellos la matriz de rigidez en coordenadas globales. No obstante todavía no se pueden sumar entre sí estas matrices para obtener la matriz de rigidez de la estructura; primero es necesario pasarlas a la forma expandida.EXPANSION DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ DE LOS MIEMBROS

Todas y cada una de las matrices de rigidez de los miembros en coordenadas globales deben ser expandidas al tamaño nxn, donde n es el número total de grados de libertad de la estructura, con el propósito de que al sumarlas se obtenga la matriz de rigidez total de la estructura. Cada matriz expandida puede contener la totalidad de los...