Frac, Parciales

Apuntes Fracciones simples
Objetivo
* Introducir el método de fracciones simples como método de integración.
Ha aquí una demostración de la proposición, usualmente presupuesta en el calculo integral, de que todo polinomio puede resolverse en factores reales, bien sean simples del tipo x+po dobles de la forma x²+px+q. Leonhard Euler (1707-1783).
En las secciones 10.2 y 10.3 introdujimosdos técnicas que permiten aplicar nuestras reglas básicas de integración a ciertas familias de funciones algebraicas. En la presente sección discutiremos una tercera técnica que permitirá rescribir funciones algebraicas (racionales, en particular) en una forma tal que admitan la aplicación de esas reglas básicas. Esta técnica exige descomponer las funciones racionales en suma de dos o más funcionesracionales más <<simples>>, y se conoce como método de las fracciones simples. Su ventaja puede apreciarse en el siguiente problema.
Intentemos calcular
x+7x²-x-6 dx
Podríamos logarlo mediante las técnicas de la sección 10.2 así:
x+7x²-x-6 dx=122x+14x²-x-6 dx=122x-1+15x²-x-6 dx
=122x-1x²-x-6 dx+15dxx-12²-52²
=lnx²-x-6+3lnx-3x+2+C
=12lnx-3x+2+3lnx-3x+2+ C
=124lnx-3-2lnx+2+C=2lnx-3-lnx+2+C
Ahora bien, supongamos que supiéramos que
x+7x²-x-6=2x-3-1x+2
En tal caso, podemos escribir
x+7x²-x-6 dx= 2x-3-1x+2 dx=2dxx-3- dxx+2
=2lnx-3-lnx+2+C
Este segundo camino es obviamente preferible al primero. Claro está que su uso, sin embargo depende de nuestra capacidad para descomponer el denominador (x²-x-6) en factores, y hallar las funciones simples 2/(x-3) y -1/(x+2).Como se recordará, uno de los objetivos fundamentales del álgebra es hallar los factores (lineales y cuadráticos irreducibles) de los polinomios. Por ejemplo, el polinomio x⁵ + x⁴ - 3x + 1 puede reescribirse como
X⁵ + x⁴ - 3x + 1 = (x – 1) (x + 1)²(x ² + 1)
Donde
(x – 1) es un factor lineal
(x + 1)² es un factor lineal repetido
(x² + 1) es un factor cuadrático irreducible
Así, si N (x)es un polinomio de grado menor que 5, la descomposición en fracciones simples de N (x)/ (x⁵ + x⁴ - 3x + 1) tiene la forma
N (x)x5+ x4- 3x+1 = N (x)x-1x+1² (x2+ 1) = Ax-1 + Bx+1 + C(x+1)² + Dx+Ex²+1
Resumimos a continuación los pasos del proceso de descomposición en fracciones simples:

En los próximos ejemplos se enseña cómo calcular los valores de las constantes que aparecen en esosnumeradores.
Ejemplo 1 (Factores lineales distintos)
Escribir la descomposición en factores simples de la función racional
x+7x²-x-6
Solución: Como x² - x – 6 = (x – 3) (x + 2)
de acuerdo con la regla 3 incluimos una fracción simple por cada factor, de modo que
x+7x²-x-6= Ax-3+ Bx+2
Multiplicando esta ecuación por el máximo común denominador (MCD), (x – 3) (x + 2) llegamos a la ecuaciónfundamental
X + 7 = A (x + 2) + B (x – 3)
Puesto que esta ecuación debe ser cierta para todo x, podemos sustituir valores adecuados de x con el fin de obtener ecuaciones en A y B, que posteriormente resolveremos. Si x= -2, entonces
-2 + 7 = A (0) + B (-5)
5 = -5B
-1 = B
Si x=3, entonces
3 + 7 = A (5) + B (0)
10 = 5 A
2 = A
Por tanto, la descomposición es
x+7x²-x-6= 2x-3- 1x+2
Como se indicóal comienzo de esta sección.
Hemos escogido los valores sustituidos en x en este ejemplo anterior, de acuerdo con el objetivo de lograr ecuaciones en A y B. Escogimos x= -2 para eliminar el término A (x + 2), mientras que x= 3 eliminada el término B (x – 3. Debe procurarse, siempre que sea posible, elegir sustituciones convenientes.

Ejemplo 2 (Factores lineales repetidos)

Calcular∫5x²+20x+6x³+2x²+x dx
Solución: Como
x³ + 2x² + x = x(x² + 2x + 1) = x(x + 1)²
incluimos, de acuerdo con la regla 3, una fracción por cada potencia de x y (x + 1), es decir,
5x²+20x+6x (x+1)²= Ax+ Bx+1+ C(x+1)²
Multiplicando por el MCD, x(x + 1)², llegamos a la ecuación fundamental
5x² + 20x + 6 = A(x + 1)² + Bx(x + 1) + Cx
Sustituyendo x= - 1 (con lo que eliminamos los términos en A y B)...