Fraccione s

Fracciones Algebraicas 1
Simplificaci´on de Fracciones Algebraicas
Una fracci´on algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. As´ı, a
b es una fracci´on
algebraica porque es el cociente indicado de la expresi´on a (dividendo) entre la expresi´on b (divisor).
El dividendo a se llama numerador de la fracci´on algebraica, y el divisor b, denominador. El numerador
y eldenominador son los t´erminos de la fracci´on.
Principio Fundamental de las Fracciones
Si cada miembro de una fracci´on se multiplica o se divide por una misma cantidad
diferente de cero, el valor de la fracci´on no se altera.
a
b = an
bn
a
b = a_n
b_n
Los Signos
En una fracci´on algebraica hay que considerar tres signos: el signo de la fracci´on, el
signo del numerador y el signo deldenominador.
a
b = a
b = a
b = a
b
a
b = a
b = a
b
En una fracci´on se puede cambiar simult´aneamente los signos del numerador y del
denominador sin alterar el valor de la fracci´on. Sin embargo, si se cambia el signo del
numerador o el signo del denominador, se debe cambiar entonces el signo que precede a
la fracci´on.
Para cambiar el signo al numerador o al denominador -cuando elnumerador y/o el
denominador de la fracci´on es un polinomio- hay que cambiar el signo, a cada uno de los
t´erminos del polinomio.
Ejemplo 1
a 5
b 4
=
5 a
4 b
Ejemplo 2
a 5
b 4
=
a 5
4 b
=
5 a
b 4
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Fracciones Algebraicas 2
Ejemplo 3
a b
x y
=
a + b
x + y
=
b a
y x
De acuerdo con lo anterior la fracci´on x2x3 puede escribirse de los cuatro modos siguientes:
x 2
x 3
=
2 x
3 x
=
2 x
x 3
=
x 2
3 x
Nota 1
Las siguientes igualdades pueden ser ´utiles para cambiar el signo a un n´umero par de
factores sin cambiar el signo de la fracci´on:
ab
xy
=
(a)b
(x)y
=
(a)b
x(y)
=
a(b)
x(y)
=
(a)(b)
xy
=
ab
(x)(y)
=
(a)(b)
(x)(y)
Nota 2
Las siguientes igualdades puedenser ´utiles para cambiar el signo a un n´umero impar
de factores cambiando el signo de la fracci´on:
ab
xy
=
(a)b
xy
=
ab
x(y)
=
(a)(b)
(x)y
=
(a)b
(x)(y)
Fracciones Equivalentes
Tanto en aritm´etica como en ´algebra una primera fracci´on es equivalente a otra, si la
segunda fracci´on puede obtenerse a partir de la primera multiplicando o dividiendo tanto
el numerador como eldenominador de la primera fracci´on por el mismo n´umero o expresi
´on algebraica.
Simplificar una expresi´on algebraica es convertirla es una fracci´on equivalente cuyos
t´erminos no tengan factores comunes. La fracci´on resultante se conoce como fracci´on irreductible
y entonces la fracci´on est´a reducida a su m´as simple expresi´on o a su m´ınima
expresi´on.
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Fracciones Algebraicas 3
Reducci´on a la M´ınima Expresi´on
Reducir una fracci´on algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor.
Para reducir una fracci´on a su m´ınima expresi´on, se factoriza primero el numerador y
el denominador y luego se divide cada uno de ellos entre cada factor que les sea com´un.
La aplicaci´on pr´actica de esto ´ultimo se conoce como laLey de Cancelaci´on.
Recordar que: ((nunca se cancelan t´erminos del numerador y del denominador; solo
se cancelan factores)).
Ley de Cancelaci´on
an
bn
=
a 6 n
b 6 n
=
a
b
Errores Comunes
a + b
a + c
=
6 a + b
6 a + c
=
b
c
a3 + b
a
=
6 a3 + b
6 a
= a2 + b
2 5x
5a
=
2 6 5x
6 5a
=
2 x
a
(a 3b)(4 + 7b)
(a 3b)4 7b
=
(4 + 7b)
4 7b
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Fracciones Algebraicas 4
Ejercicios
Instrucciones: reducir a la m´ınima expresi´on los monomios siguientes.
1. 18
48
2. 39a
65m
3. a2
a
4. 8x
2y
5. 3xy
9x2
6. 12ab
16ab2
7. 12x2y3
21x3y2
8. a2
ab
9. 5a
35a2b
10. x2y2
x3y3
11. ax3
4x5y
12. 6m2n3
3m
13. 9x2y3
24a2x3y4
14. 6xy2z4
9x2y2z3
15. a2b2
a4b
16. 9x4
3x3
17. 48a3b5
16a2b2
18....