Fracciones De Lacsap
Páginas: 11 (2553 palabras)
Publicado: 6 de octubre de 2012
Kevin Martínez Cárdenas A01017802
22/04/2012
Matemáticas IB NM
Tarea Tipo 1 - Fracciones de Lacsap
El objetivo de la siguiente tarea es establecer una proposición general para el siguiente conjunto de números presentados en un patrón simétrico. En la tarea se encontrarán numeradores adicionales para ejemplificar de mejor manera el comportamiento del conjunto. Se calcularán filas adicionalespara demostrar la utilidad de la formula propuesta, y hallar una proposición general, discutiendo sus alcances y limitaciones.
1 1
1 3/2 1
1 6/4 6/4 1
1 10/7 10/6 10/7 1
1 15/11 15/9 15/9 15/11 1
El primer paso para encontrar la sexta fila de numeradores es observar el patrón que presenta el conjunto de números. Se puede observar que al primernumerador se le suman dos unidades, al siguiente se le suman tres, al próximo cuatro y esto continua infinitamente. Por lo anterior sabemos que de la cuarta a la quinta fila se suman cinco unidades, así que en la sexta fila se sumarán seis. Para aclarar esta observación se presenta la siguiente tabla:
Tabla de numeradores contra la fila n
Número de fila (n) 1 2 3 4 5
Numerador (N) 1 3 6 10 15Diferencia con el numerador anterior No hay 2 3 4 5
De lo anterior, para hallar el numerador de la sexta tenemos como resultado 15+6=21; aclarando que el numerador es el mismo en cualquier lugar de la fila n, el conjunto quedaría de la siguiente manera:
1 1
3 3 3
6 6 6 6
10 10 10 10 10
15 15 15 15 15 15
21 21 21 21 21 21 21
Parafacilitar el hallazgo de los numeradores representados por N, se expone la siguiente gráfica con la relación entre éstos y el número de fila n.
Gráfica No. 1
De la gráfica anterior se observa que se tiende a un comportamiento parabólico, por lo cual la fórmula para hallar cualquier numerador será cuadrática.
Con los datos anteriores se consiguió una fórmula de ajuste en Logger Pro que se muestraa continuación:
Gráfica No. 2
Finalmente, la fórmula encontrada para el numerador es N = (n^2+n)/2, la cual, recordando el tema de series y sucesiones puede reescribirse como la sumatoria ∑_(n=1)^n▒x, para entender como funciona se dará un ejemplo de la sumatoria:
En la fila tres el numerador es seis, así que n valdrá tres empezando por uno ∑_(n=1)^3▒x = 1+2+3=6
El siguiente paso paraencontrar la sexta y séptima fila es considerar la sumatoria del numerador antes propuesta y hallar el patrón del denominador.
Siguiendo lo párrafos previos tenemos que ∑_(n=1)^n▒x , así que:
Para el numerador de la sexta fila ∑_(n=1)^6▒x = 1+2+3+4+5+6=21
Para el numerador de la séptima fila ∑_(n=1)^7▒x = 1+2+3+4+5+6+7=28
El siguiente conjunto solo muestra los denominadores de las primeras cincofilas:
1 1
3 2 3
6 4 4 6
10 7 6 7 10
15 11 9 9 11 15
La razón por la que los números anteriormente mostrados, cuando r = 0, no están en el conjunto original se debe a que están simplificados, es decir, en la primera fila la fracción es 1/1, en la segunda fila es 3/3, en la tercera 6/6, etc.
Para hallar los siguientes denominadores, graficaremos enLogger Pro los de la tercera, cuarta y quinta fila en relación con su posición llamada r; por deducción, se observa que estos formarán una parábola en los tres casos y ofrecerán una fórmula cuadrática de ajuste.
Gráfica No. 3
De la gráfica anterior tenemos que x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-3r+6
Gráfica No. 4
De la segunda gráfica tenemosque x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-4r+10
Gráfica No. 5
De la tercera gráfica tenemos que x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-5r+15
Analizando los resultados anteriores y tomando como referencia la fórmula D = r2-5r+15, podemos observar que el término cuadrado (r2) en cualquiera de los tres casos es 1,...
22/04/2012
Matemáticas IB NM
Tarea Tipo 1 - Fracciones de Lacsap
El objetivo de la siguiente tarea es establecer una proposición general para el siguiente conjunto de números presentados en un patrón simétrico. En la tarea se encontrarán numeradores adicionales para ejemplificar de mejor manera el comportamiento del conjunto. Se calcularán filas adicionalespara demostrar la utilidad de la formula propuesta, y hallar una proposición general, discutiendo sus alcances y limitaciones.
1 1
1 3/2 1
1 6/4 6/4 1
1 10/7 10/6 10/7 1
1 15/11 15/9 15/9 15/11 1
El primer paso para encontrar la sexta fila de numeradores es observar el patrón que presenta el conjunto de números. Se puede observar que al primernumerador se le suman dos unidades, al siguiente se le suman tres, al próximo cuatro y esto continua infinitamente. Por lo anterior sabemos que de la cuarta a la quinta fila se suman cinco unidades, así que en la sexta fila se sumarán seis. Para aclarar esta observación se presenta la siguiente tabla:
Tabla de numeradores contra la fila n
Número de fila (n) 1 2 3 4 5
Numerador (N) 1 3 6 10 15Diferencia con el numerador anterior No hay 2 3 4 5
De lo anterior, para hallar el numerador de la sexta tenemos como resultado 15+6=21; aclarando que el numerador es el mismo en cualquier lugar de la fila n, el conjunto quedaría de la siguiente manera:
1 1
3 3 3
6 6 6 6
10 10 10 10 10
15 15 15 15 15 15
21 21 21 21 21 21 21
Parafacilitar el hallazgo de los numeradores representados por N, se expone la siguiente gráfica con la relación entre éstos y el número de fila n.
Gráfica No. 1
De la gráfica anterior se observa que se tiende a un comportamiento parabólico, por lo cual la fórmula para hallar cualquier numerador será cuadrática.
Con los datos anteriores se consiguió una fórmula de ajuste en Logger Pro que se muestraa continuación:
Gráfica No. 2
Finalmente, la fórmula encontrada para el numerador es N = (n^2+n)/2, la cual, recordando el tema de series y sucesiones puede reescribirse como la sumatoria ∑_(n=1)^n▒x, para entender como funciona se dará un ejemplo de la sumatoria:
En la fila tres el numerador es seis, así que n valdrá tres empezando por uno ∑_(n=1)^3▒x = 1+2+3=6
El siguiente paso paraencontrar la sexta y séptima fila es considerar la sumatoria del numerador antes propuesta y hallar el patrón del denominador.
Siguiendo lo párrafos previos tenemos que ∑_(n=1)^n▒x , así que:
Para el numerador de la sexta fila ∑_(n=1)^6▒x = 1+2+3+4+5+6=21
Para el numerador de la séptima fila ∑_(n=1)^7▒x = 1+2+3+4+5+6+7=28
El siguiente conjunto solo muestra los denominadores de las primeras cincofilas:
1 1
3 2 3
6 4 4 6
10 7 6 7 10
15 11 9 9 11 15
La razón por la que los números anteriormente mostrados, cuando r = 0, no están en el conjunto original se debe a que están simplificados, es decir, en la primera fila la fracción es 1/1, en la segunda fila es 3/3, en la tercera 6/6, etc.
Para hallar los siguientes denominadores, graficaremos enLogger Pro los de la tercera, cuarta y quinta fila en relación con su posición llamada r; por deducción, se observa que estos formarán una parábola en los tres casos y ofrecerán una fórmula cuadrática de ajuste.
Gráfica No. 3
De la gráfica anterior tenemos que x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-3r+6
Gráfica No. 4
De la segunda gráfica tenemosque x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-4r+10
Gráfica No. 5
De la tercera gráfica tenemos que x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-5r+15
Analizando los resultados anteriores y tomando como referencia la fórmula D = r2-5r+15, podemos observar que el término cuadrado (r2) en cualquiera de los tres casos es 1,...
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