Fracciones De Lacsap

Organización del bachillerato internacional
PROGRAMA DEL DIPLOMA

COLEGIO PERUANO NORTEAMERICANO “ABRAHAM LINCOLN”

Matemáticas: Nivel Medio

Portafolio: Fracciones de Lacsap

Diego Alfonso Cabrera
IV- B

Lima, Perú
2012
Introducción
Lacsap es simplemente Pascal al revés, esto nos dice que el triángulo de Pascal (llamado así por el matemático francés del siglo XVII Blaise Pascal)encaja en estas fracciones. El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular, entonces el triangulo de Lacsap vendrían a ser fracciones ordenadas de forma triangular y con sus respectivas fórmulas para numerador y denominador, que pasaré a hallar.

Hallamos el numerador
Resolveremos en este portafolio la relación entre el número de fila(n) con el numerador y el denominador, en el patrón mostrado abajo llamado triángulo de Lacsap.

Observaciones:
* Cuando n=1, el numerador es 1
* Cuando n=2, el numerador es 3
* Cuando n=3, el numerador es 6
* Cuando n=4, el numerador es 10
* Cuando n=5, el numerador es 15

Podemos verlo mejor en esta gráfica:
"n" fila | Numerador |
1 | 1 |
2 | 3 |
3 | 6 |
4 | 10 |5 | 15 |

Según estas observaciones hay un patrón el cual consiste en que el siguiente numerador se le va sumando números consecutivos:
1 + 2 = 3
3 + 3 = 6
6 + 4 = 10
10 + 5 = 15
15 + 6 = 21 Debería ser el numerador de la sexta fila (hipótesis)
Buscando una relación entre “n” y el numerador.
* Cuando n = 1 y el numerador es 1
n (y) = 1
Reemplazando:
1 (y) = 1
y= 1 Primer valorde y
Entonces:
1 (1) = 1

* Cuando n = 2 y el numerador es 3
n (y) = 3
Reemplazando:
2 (y) = 3
y=3/2 Segundo valor de y
Entonces:
2 (3/2) =3

* Cuando n =3 y el numerador es 6
n (y) =6
Reemplazando:
3 (y) = 6
y= 6/3 Tercer valor de y
Entonces:
3 (6/3) =6

* Cuando n =4 y el numerador es 10
n (y) = 10
Reemplazando:
4 (y) =10
y= 10 /4 Cuarto valor de yEntonces:
4 (10/4) =10

* Cuando n =5 y el numerador es 15
n (y) = 15
Reemplazando:
5 (y) = 15
y= 15 /5 Quinto valor de y
Entonces:
5 (15/5) = 15

Valores hallados de y:
1; 3/2; 6/3; 10/4; 15/5
Hallamos fracciones equivalentes con un denominador común para todas las fracciones valores de y:
* 1= 2/2
* 3/2= 3/2
* 6/3= 4/2
* 10/4= 5/2
* 15/5= 6/2
Reemplazamos:
*Cuando n=1
1 (2/2) = 1
* Cuando n=2
2 (3/2) = 3
* Cuando n=3
3 (4/2) = 6

* Cuando n=4
4 (5/2)= 10
* Cuando n=5
5 (6/2) = 15

Podemos notar que el numerador de un factor es siempre un número consecutivo.
n (n+1)

Entonces la proposición general que representa lo observado para hallar cualquier numerador de “n” fila es la siguiente:
n (n+1) /2

Aplicando la fila parahallar el numerador de la sexta y séptima fila:
Sexta fila n=6 6 (6+1) /2 = 21 lo cual concuerda con nuestra hipótesis
Séptima fila: n=7 7 (7+1) /2 = 28

Hallamos el Denominador:

Observamos que la diferencia entre el denominador y el numerador en “r” (columnas diagonales) es de números consecutivos cuando r=1; de dos endos cuando r=2; y de tres en tres cuando r=3; y suponemos que será de cuatro en cuatro cuando r=4.
Denominador cuando “r” = 1:
Cuando n=1, observamos que la diferencia entre el numerador y el denominador es 0
Cuando n=2, la diferencia es 1
Cuando n=3, la diferencia es 2
Cuando n=4, la diferencia es 3
Cuando n=5, la diferencia es 4
Cuando n=6, la diferencia debería ser 5
Cuando n=7, ladiferencia debería ser 6

Podemos decir que la diferencia es igual a n – r (cuando r = 1).
1 – 1 = 0 = n – 1
2 – 1 = 1 = n – 1
Entonces: numerador – denominador = n – r
Denominador = numerador – (n – r)

6 – 4 = 2 = n – 1
10 – 7 = 3
15 – 11 = 4

Denominador cuando “r” = 2:
Denominador = D; Numerador = N
Cuando
n= 2; N – D = 0
n= 3; N – D = 2...