Fracciones Matematicas

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Método de fórmula general
Ahora vamos a utilizar el método infalible.
La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación
cuadrática.
Fórmula General
La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es la siguiente:
√
−b ± b2 − 4 ac
x=
2a

Definición
1

donde a, b, c son los coeficientes de laecuación cuadrática: a x2 + b x + c = 0.
Para resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula general, primero debemos identificar los valores de los coeficientes.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 1

x2 + 2 x − 1 = 0

• Observa que en este caso no podemos hacer la factorización, porque:
 El trinomio cuadrado no es perfecto, y
 No hay dos números enteros que sumadosden 2 y multiplicados den −1.
• En estos casos, la fórmula general es la que nos salva.
• Los coeficientes en este caso son: a = 1, b = 2, y c = −1.
• Vamos a sustituir los coeficientes en la fórmula y después realizamos los cálculos que quedan
indicados.
√
−b ± b2 − 4 ac
x=
2a
−(2) ± (2)2 − 4 (1)(−1)
=
2 (1)

=
=

−2 ±

4 − ( −4)
2
√
−2 ± 8
2

• Podemos ver que el radicandopuede ser factorizado como 8 = 23 = 2 · 22 , y después,
simplificar:
√
−2 ± 2 · 22
x=
2√
−2 ± 2 2
=
2

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• Y ahora podemos simplificar, dividiendo entre dos:
x=

=
=

√
2 22
¡¡
−±
2
2
¡ √¡
−1 ± 2

• Y las soluciones de la ecuación cuadrática son:

√
= −1 + 2
√
= −1 − 2

x1
x2

• Para verificarque las soluciones de la ecuación cuadrática son correctas podemos utilizar el
método de factorización.
• Al sumar las raíces debemos obtener el negativo del coeficiente del término lineal, y al
multiplicarlos, debemos obtener término independiente.

x1 + x2 = −2

⇒

( x1 )( x2 ) = −1

⇒

Sugiera que
apliquen
producto conjugado
para la multiplicación.

√
√
&
&
−1 + &2 + −1 − &2√
√
−1 + 2 · −1 − 2

En la comprobación tanto la suma de las raíces como la multiplicación son muy sencillas.
Para realizar la multiplicación de una manera sencilla aplica el producto de binomios conjugados:
el resultado es una diferencia de cuadrados.
Reto 1

Explica por qué la suma de las raíces debe ser igual al negativo del coeficiente del término lineal
Resuelve la siguienteecuación cuadrática:

Ejemplo 2

5 x2 + 57 x − 36 = 0

• Esta ecuación sí se puede resolver por el método de factorización, pero sería muy laborioso.
• Preferimos usar el método de la fórmula general:
√
−b ± b2 − 4 ac
x=
2a
−(57) ± (57)2 − 4 (5)(−36)
=
2 (5)

=
=

3249 − (−720)
√ 10
−57 ± 3969
10

−57 ±

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Profesor:

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• El número 3969 = 632 , así que podemos simplificar el radicando:
√
−57 ± 632
x=
10
−57 ± 63
=
10
• Ahora encontramos las dos raíces:
x1

=

x2

=

−57 + 63
6
3
=
=
10
10
5
−57 − 63
−120
=
= −12
10
10

• Esto quiere decir que podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera equivalente:

( x + 12) x −

3
5

=0

• Y al multiplicar ambos ladosde la igualdad por 5, obtenemos una ecuación equivalente que
no incluye fracciones:
( x + 12)(5 x − 3) = 0
• Ahora que conoces la factorización, se te queda como ejercicio multiplicar los binomios
para verificar que las ecuaciones son equivalentes y después realizar la comprobación sustituyendo las raíces en la ecuación.

Algunas veces encontraremos ecuaciones que al simplificarse, se reducena una ecuación cuadrática.
En estos casos, después de haber expresado la ecuación en la forma (??), debemos reconocerla
como tal y proceder a su solución por cualquiera de los métodos que ya hemos estudiado.
Resuelve la siguiente ecuación:
5
1
−
=3
x+2 x−2

Ejemplo 3

• Esta ecuación, para empezar, ni siquiera parece cuadrática.
• Vamos a simplificarla, para ver si podemos...