Fracciones Parciales

Fracciones Parciales Secci´n 8.7 o

Fracciones Parciales. Secci´n 8.7 o

Fracciones parciales

En esta secci´n se examina un procedimiento para descomponer una funci´n racional o o (es decir un cociente de polinomios) en sumas de funciones racionales m´s simples a para poder aplicar las f´rmulas b´sicas de la integraci´n. Este m´todo recibe el o a o ´ e nombre de las fracciones parciales osimples.

Fracciones Parciales. Secci´n 8.7 o

Fracciones parciales

En esta secci´n se examina un procedimiento para descomponer una funci´n racional o o (es decir un cociente de polinomios) en sumas de funciones racionales m´s simples a para poder aplicar las f´rmulas b´sicas de la integraci´n. Este m´todo recibe el o a o ´ e nombre de las fracciones parciales o simples.

+20x+6 Amanera de ejemplo, consid´rese 5x2 +2x 2 +x , la cual es una funci´n racional que se e o x puede descomponer en fracciones parciales como se muestra a continuaci´n o

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Fracciones Parciales. Secci´n 8.7 o

Fracciones parciales

En esta secci´n se examina un procedimiento para descomponer una funci´n racional o o (es decir un cociente de polinomios) en sumas de funciones racionales m´ssimples a para poder aplicar las f´rmulas b´sicas de la integraci´n. Este m´todo recibe el o a o ´ e nombre de las fracciones parciales o simples.

+20x+6 A manera de ejemplo, consid´rese 5x2 +2x 2 +x , la cual es una funci´n racional que se e o x puede descomponer en fracciones parciales como se muestra a continuaci´n o

2

5x 2 + 20x + 6 6 1 9 = − + . x 2 + 2x 2 + x x x +1 (x + 1)2

FraccionesParciales. Secci´n 8.7 o

Con lo anterior, si se quiere resolver la integral como sigue: 5x 2 + 20x + 6 dx = x 2 + 2x 2 + x

5x 2 +20x+6 dx, x 2 +2x 2 +x

se puede proceder

6 1 9 − + x x +1 (x + 1)2

dx,

Fracciones Parciales. Secci´n 8.7 o

Con lo anterior, si se quiere resolver la integral como sigue: 5x 2 + 20x + 6 dx = x 2 + 2x 2 + x 5x 2 + 20x + 6 dx = x 2 + 2x 2 + x

5x 2+20x+6 dx, x 2 +2x 2 +x

se puede proceder

6 1 9 − + x x +1 (x + 1)2 6 dx − x 1 dx + x +1

dx,

9 dx. (x + 1)2

Fracciones Parciales. Secci´n 8.7 o

Con lo anterior, si se quiere resolver la integral como sigue: 5x 2 + 20x + 6 dx = x 2 + 2x 2 + x 5x 2 + 20x + 6 dx = x 2 + 2x 2 + x

5x 2 +20x+6 dx, x 2 +2x 2 +x

se puede proceder

6 1 9 − + x x +1 (x + 1)2 6 dx − x 1 dx + x +1dx,

9 dx. (x + 1)2

N´tese que las integrales de la derecha se resuelven por m´todos ya estudiados. o e

Fracciones Parciales. Secci´n 8.7 o

Con lo anterior, si se quiere resolver la integral como sigue: 5x 2 + 20x + 6 dx = x 2 + 2x 2 + x 5x 2 + 20x + 6 dx = x 2 + 2x 2 + x

5x 2 +20x+6 dx, x 2 +2x 2 +x

se puede proceder

6 1 9 − + x x +1 (x + 1)2 6 dx − x 1 dx + x +1

dx,9 dx. (x + 1)2

N´tese que las integrales de la derecha se resuelven por m´todos ya estudiados. o e

A continuaci´n se describe el m´todo de descomposici´n en fracciones parciales para o e o el caso en que la fracci´n racional a descomponer tiene en el denominador un o polinomio que se pueda factorizar en factors lineales y/o cuadr´ticos. a

Fracciones Parciales. Secci´n 8.7 oDescomposici´n en fracciones parciales o 1. Dividir cuando la fracci´n es impropia: Si D(x) es una fracci´n impropia (es decir, o o si el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador), dividir el numerador en el denominador (mediante la divisi´n larga) para obtener o N(x) N1 (x) = (polinomio) + , D(x) D(x) donde el grado de N1 (x) es menor que el grado de D(x). Entonces aplicar los pasos2, N1 (x 3 y 4 a la expresi´n racional propia D(x) ). o 2. factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en factores de los tipos (px + q)m y (ax 2 + bx + c)n , donde ax 2 + bx + c sea irreducible. 3. Factores lineales: Para cada factor lineal (px + q)m , la descomposici´n en o fracciones simples debe incluir la suma siguiente de m fracciones. A2 Am A1 + + ... + px + q (px +...