Fracciones parciales

Fracciones Parciales
El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o unatransformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la funciónF(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.


Las integrales porfracciones parciales es de la forma ∫P(x)Q(x)dx donde:
▪ P(x) y Q(x) son polinómios
▪ El grado de P(x) es menor que el de Q(x)
NOTA

▪ Las fracciones parciales se utilizan para ayudar adescomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
▪ En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de elnumerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:
- El denominador de cada término esirreducible (no factorizable) polinómico y,
- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible
Caso I (Factores Lineales Distintos)

En este caso tenemos quelos factores del denominador son todos factores lineales distintos.

Q(x)=(a1x+b1)(a2x+b2)(a3x+b3)...(anx+bn) a y b son constantes, proponer:
P(x)Q(x)=A1a1x+b1+A2a2x+b2+…+Ananx+bn(1)Encontrar A1,A2,An

Ejemplo Caso I

Sea f(x)=1x2+x−6
Primero factorizamos el denominador nos quedaría f(x)=1(x+3)(x−2)
Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir1(x+3)(x−2)=Ax+3+Bx−2




Caso 2 Factores Lineales repetidos
suponga que el primer factor lineal (a1x+b1) se repite r veces; es decir, (a1x+b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo...