Fracciones Parciales

FRACCIONES PARCIALES
Las Fracciones Parciales son cada una de las fracciones simples que se obtienen al descomponer una fracción dada.
Anteriormente en Álgebra se vió:

2(x+2)+1(x-3)= …=3x-4x2-x-6

Ahora, en este tema, dada una fracción (que llamaremos “original”):

3x-4x2-x-6= …=A(x+2)+B(x-3)

Donde hay que determinar el valor de las constantes A y B.
La fracción original debe serPROPIA, es decir, el grado del polinomio numerador debe ser menor que el grado del polinomio denominador. Si ese no es el caso, deberá efectuarse la división algebraica para obtener la fracción propia y plantear el resultado de acuerdo al Algoritmo de la División:

Dividendodivisor=Cociente+ Restodivisor
Donde la fracción Restodivisor será la fracción propia que habrá que descomponer en susfracciones parciales.
Ejemplos de fracciones Propia e Impropia:
Fracción propia: Fracción impropia:

5x2+1x-4x+1(x+2) 2x5-4x3+x-8x2-4x+4(x2-3x+9)

El Teorema Fundamental de la Descomposición de una Fracción en Fracciones Parciales Simples, contempla 4 casos:
1. FactoresLineales Distintos.
2. Factores Lineales Repetidos.
3. Factores Cuadráticos Distintos.
4. Factores Cuadráticos Repetidos.

Ahora enunciaremos el Teorema Fundamental y para cada caso, con el fin de mejorar su comprensión, agregaremos un ejemplo de su aplicación. No resolveremos por completo el ejemplo, ya que más adelante lo haremos.

Teorema Fundamental para la Descomposición de unaFracción en Fracciones Parciales Simples.
“Cualquier fracción propia, reducida a su mínima expresión, puede expresarse como una suma de fracciones parciales de los siguientes tipos:

(a) A cada factor lineal (ax + b) que aparezca una sola vez como factor del denominador, le corresponde una fracción parcial de la forma: A(ax+b) , en donde A es una constante diferente de cero.

Ejemplo deFactores Lineales Distintos:

5x+1x-1x+1(x+2)=A(x-1)+B(x+1)+C(x+2)

(b) A cada factor lineal (ax + b) que se repita k veces como factor del denominador, le corresponde k fracciones parciales de la forma:

A1(ax+b)+A2(ax+b)2+A3(ax+b)3+…+Ak(ax+b)k

en donde A1, A2, A3, …, Ak son constantes y Ak es diferente de cero.

Ejemplo de Factores Lineales Repetidos:

7x+3x+12=A(x+1)+B(x+1)2
(Piensaen cómo quedaría la descomposición si el factor (x+1) estuviera elevado a la tercera potencia?)...y la respuesta es…

7x+3x+13=A(x+1)+B(x+1)2+C(x+1)3

(c) A cada factor cuadrático (ax2 + bx + c) (irreducible en el campo de los números reales) que aparezca una sola vez como factor del denominador, le corresponde una fracción parcial de la forma: Ax+B(ax2+bx+c) , en donde A y B sonconstantes no simultáneamente nulas.

Ejemplo de Factores Cuadráticos Distintos:

3x3-x2+4xx2+1(x2-x+1)=Ax+Bx2+1+Cx+D(x2-x+1)

NOTA: Para comprobar que el factor cuadrático (x2 –x +1) es irreducible en el campo de los números reales, puede usarse la fórmula del Discriminante de una ecuación cuadrática (D = b2 – 4ac) donde se observará que D no es un cuadrado perfecto, o si lo es, entonces esnegativo, es decir, a D no se le puede extraer raíz cuadrada, por lo tanto dicho factor cuadrático no se puede factorizar.

(d) A cada factor cuadrático (ax2 + bx + c) (irreducible en el campo de los números reales) que aparezca k veces como factor del denominador, le corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma:

A1x+B1(ax2+bx+c)+A2x+B2(ax2+bx+c)2+A3x+B3(ax2+bx+c)3+…+Akx+Bk(ax2+bx+c)ken donde A1, B1, A2, B2, …, Ak y Bk son constantes y Ak y Bk no son simultáneamente nulas.

Ejemplo de Factores Cuadráticos Repetidos:

3x3-x2+4xx2+1(x2-5)2=Ax+Bx2+1+Cx+D(x2-5)+Ex+F(x2-5)2
(Piensa en cómo quedaría la descomposición si el factor (x2 - 5) estuviera elevado a la tercera potencia?)...y la respuesta es…

3x3-x2+4xx2+1(x2-5)3=Ax+Bx2+1+Cx+D(x2-5)+Ex+F(x2-5)2+Gx+H(x2-5)3...