Fracciones Parciales

Fracciones Parciales

Definición: Sean p(x), q(x) dos polinomios en R[x], diremos que si gr(p(x)) < gr(q(x)).

p(x) es unafracción propia q(x)

Teorema (Descomposición en fracciones parciales) Sean p(x), q(x) ∈ R[x]. Toda fracp(x) se puede descomponer en la sumade fracciones parciales como sigue: ción propia q(x)

1. Si q(x) tiene un factor lineal no repetido de la forma ax+b, entonces ladescomposición p(x) contiene un término de la forma en fracciones parciales de q(x) A ax + b donde A es constante. 2. Si q(x) tiene unfactor lineal repetido k−veces de la forma (ax + b)k , entonces la p(x) contiene términos de la forma descomposición en fraccionesparciales de q(x) A1 A2 Ak + + ··· + ax + b (ax + b)2 (ax + b)k donde A1 , A2 , · · · , Ak son constantes. 3. Si q(x) tiene un factorirreducible no repetido de la forma ax2 + bx + c, entonces la p(x) contiene un término de la forma descomposición en fracciones parcialesde q(x) Ax + B ax2 + bx + c donde A y B son constantes. 4. Si q(x) tiene un factor irreducible repetido k−veces de la forma (ax2 + bx+ c)k , p(x) contiene términos de la entonces la descomposición en fracciones parciales de q(x) forma A1 x + B1 A2 x + B2 Ak x + Bk ++ ··· + 2 + bx + c 2 + bx + c)2 ax (ax (ax2 + bx + c)k donde A1 , A2 , · · · , Ak y B1 , B2 , · · · , Bk son constantes.

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