Fracciones parciales

Regla de Descomposición en Fracciones Parciales. 1. Por cada factor forma en el denominador habrá r Fracciones Parciales de la

2. Por cada factorcuadrático forma

habrá s Fracciones Parciales de la

Ej.1 Calcular 1 2

2

2

2

Hay que calcular A, B, C, D, E. 1 2 2 2 2

Se desarrolla yse iguala. Pero también se puede dar valores a x, así, Si 1 2 4 8 1 8 7 7 4 Etc.   3 16 5 4 3 4 , 0 , y si se desarrollaba daba " 0  ya se suponía. " ycomo el exponente máximo era

Si

Finalmente se reemplazan los valores A, B, C, D, E y se integra. Ej. 2 2 1 Descomposición, 2 1   2 3                                            2 3         2          2 Pero (¡ojo!) es mejor, 2 1 Salen 2 4  , 5 2 1 4 ln | 5 4 ln | 5 2 Entonces, ln | 1| ln | 2 2|   tan 1 . 2 1| 1| 2 32 4 5 3 2 2 1 9  , 10 1 1 2 5 2 5 tan 2 2 5 9 2 10 2 2 2 2 1 2 2 2 2 5 2 2 2 2 1 2 2 2       2   3 1 2 4⁄5 9⁄5    4⁄ 5 2 3 2   2 3 2

1

2

2

 9 2 2 10 2 2 9 ln | 2 2| 10 1 1

Casos de una integral de Fracciones Parciales. Hay solamente cuatro casos, todos los cuales tienen primitivaselementales. Pues existen primitivas que no tienen expresión elemental. Por ejemplo, sin  , 1  sin …

Los cuatro casos son, a) ln | b) 1 c) 2 |

Dondela primera integral se resuelve con logaritmo y la segunda, con la función arcotangente o arcotangente hiperbólica. d)

Con un cambio de variable,      

Donde la primera integral (de denominador “Cu”) se resuelve como una potencia y la segunda, con una fórmula de reducción.