Fracciones

Integraci´n de funciones racionales mediante separaci´n en o o fracciones simples
Marcelo Fiori

P (x) El objetivo es resolver integrales de la forma: Q(x) dx donde P (x) y Q(x) son polinomios de coeficientes reales. Observemos que si gr(P ) > gr(Q), entonces podemos escribir

P (x) R(x) = S(x) + Q(x) Q(x) De lo anterior, resulta P (x) dx = Q(x)

donde gr(R(x)) < gr(Q(x))

S(x)dx +R(x) dx Q(x)

El t´rmino S(x)dx se resuelve f´cil (es un polinomio), por lo que nos concentraremos en e a R(x) resolver Q(x) dx. La idea ser´ descomponer la expresi´n Q(x) en una suma de t´rminos que podamos integrar, a o R(x) e llamadas fracciones simples. A Bx+C Las fracciones simples son expresiones con esta forma: (x−r)k ; [(x−p)2 +q2 ]k donde los denominadores que aparecen, son los factores deQ(x). Los factores (x − r)k aparecen si Q(x) tiene una ra´ real r. Mientras que los factores [(x − p)2 + q 2 ]k aparecen si Q(x) tiene ra´ ız ıces complejas z = p ± qi Cuando Q(x) tiene una ra´ r con multiplicidad k o sea Q(x) = (x − r)k Q1 (x) , aparecen ız k factores: (x − r)i con i = 1 . . . k (ver ejemplo) Observemos que cuando el factor tiene una ra´ real, el numerador es simplemente unn´mero ız u (A), y cuando tiene ra´ ıces complejas aparece un polinomio de grado 1 (Bx + C).

Ejemplo:

x−1 (x−2)2 (x−3)

Los factores de (x − 2)2 (x − 3) son: (x − 2) , (x − 2)2 y (x − 3) Por lo tanto descompondremos de la siguiente forma x−1 A B C = + + 2 (x − 3) 2 (x − 2) x − 2 (x − 2) x−3 Los coeficientes A,B, y C se determinan, por ejemplo, haciendo denominador com´n y reu solviendo elsistema lineal. En este caso para hallar C podr´ ıamos multiplicar la ecuaci´n por o (x − 3) y tomar l´ ımite cuando x tiende a 3: x−1 A(x − 3) B(x − 3) + = +C 2 (x − 2) x−2 (x − 2)2 x−1 x−1 A(x − 3) B(x − 3) 3−1 = lim + + C ⇒ C = lim = =2 2 2 2 x→3 (x − 2) x→3 x→3 (x − 2) x−2 (x − 2) (3 − 2)2 lim Este m´todo se conoce como “la tapadita”, pero sirve s´lo para calcular los coeficientes e ocorrespondientes a los t´rminos (x − r)k , donde k es la multiplicidad de la ra´ r (en el ejemplo, e ız se puede calcular B de esta manera).

1

Ejemplo:

1 (x−2)(x2 −x+1)
√ 1±i 3 2 .

El polinomio x2 − x + 1 tiene ra´ ıces z = descomposici´n quedar´ entonces: o ıa

Por lo tanto p =

1 2

√

y q =

3 2 .

La

1 1 A Bx + C = 1 2 3 = x−2 + 3 2 − x + 1) (x − 2)(x (x − 2)[(x − 2 ) + 4 ] [(x −1 )2 + 4 ] 2 Ya sabemos separar en fracciones simples, veamos ahora c´mo integramos cada una de ellas. o ¿C´mo se calcula o • k=1
Adx ? (x−r)k

Adx = A ln |x − r| x−r 1 A Adx = k 1 − k (x − r)k−1 (x − r)

• k>1

¿C´mo se calcula o • k=1

(Bx+C)dx ? [(x−p)2 +q 2 ]k

Hagamos algunas cuentas para volver a separar en dos integrales: (Bx + C)dx (x − p)2 + q 2 = = B B
C (x + B )dx =B (x −p)2 + q 2 C (x + B − p + p)dx (x − p)2 + q 2 C ( B + p)dx (x − p)2 + q 2

(x − p)dx +B (x − p)2 + q 2

La primera sale con el cambio de variable u = (x − p)2 + q 2 (ejercicio). En la segunda, buscando que resulte una expresi´n del estilo de x21 (que sabemos inteo +1 grar), primero realizamos el cambio de variable u = (x − p) y luego sacamos q 2 de factor com´n en el denominador: u B( C + p) Bdx = (C + Bp) (x − p)2 + q 2 u2 du = (C + Bp) + q2
u q

du q 2 [( u )2 q + 1]

Luego realizamos un nuevo cambio de variable: z = C + Bp q2 Finalmente: C + Bp du = ( u )2 + 1 q q

dz C + Bp x−p = arctan z2 + 1 q q

(Bx + C)dx B C + Bp x−p = ln (x − p)2 + q 2 + arctan 2 + q2 (x − p) 2 q q Naturalmente, no hay que memorizar este resultado. Basta con entender los pasos y saber realizarlos enun caso particular, como hacemos en el ultimo ejemplo. ´ • k>1 Nos limitaremos a contar brevemente como calcularla. Mediante el mismo procedimiento que para k = 1, debemos llevar la integral a la forma K (z 2dz k : +1) (Bx + C)dx dz =K [(x − p)2 + q 2 ]k (z 2 + 1)k 2

Donde K es una constante que depender´ de B,C,p,q y k. a Ahora, si definimos In de la siguiente forma: In = (x2 dx + 1)n

Se...