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Publicado: 10 de abril de 2014
Número primo
En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.1 2 Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.
Los números primos menores que 100son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.3
La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por .
El estudio de los númerosprimos es una parte importante de la teoría de números, rama de las matemáticas que versa sobre las propiedades, básicamente aritméticas, 4 de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: sise consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.
Propiedades de los números primos
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puedeaparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.
Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.
Laimportancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.
A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y lacoprimalidad de dos o más números. Así,
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.
El máximo común divisor de dos o más números es elmayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.
Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que nosea múltiplo de él mismo.
Otras propiedades
En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima con la base.
De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1.Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.
Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b.
Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible por p.
Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en...
En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.1 2 Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.
Los números primos menores que 100son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.3
La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por .
El estudio de los númerosprimos es una parte importante de la teoría de números, rama de las matemáticas que versa sobre las propiedades, básicamente aritméticas, 4 de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: sise consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.
Propiedades de los números primos
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puedeaparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.
Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.
Laimportancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.
A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y lacoprimalidad de dos o más números. Así,
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.
El máximo común divisor de dos o más números es elmayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.
Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que nosea múltiplo de él mismo.
Otras propiedades
En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima con la base.
De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1.Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.
Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b.
Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible por p.
Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en...
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