fraciones

L
LO
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NÚ
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RO
OS
SR
RE
EA
AL
LE
ES
S.. F
FR
RA
AC
CC
CIIO
ON
NE
ES
S

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
Los números surgen de la necesidad de contar. Pero el Hombre no se limitó sólo a contar, sino que
acumulaba o intercambiaba o repartía bienes …. Estas actividades tan cotidianas tuvieron respuesta en
operaciones tan sencillas como la suma, la resta, lamultiplicación o la división. A medida que estos
cálculos se complicaron fueron apareciendo distintas clases de números. El conjunto más amplio con el
que vamos a trabajar durante esta etapa es el de los números reales, ℝ.
¾ El conjunto de números naturales, ℕ, está formado por los números que utilizamos para contar.
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5.......

}

Trabajando sólo con los números naturales nopodríamos expresar numéricamente el segundo sótano o
tres grados bajo cero o la situación económica de una persona que dispone de 200 € para pagar un
deuda de 300 €. La introducción del signo –, es decir, de los números negativos permitió que las
situaciones anteriores pudieran describirse como la planta –2, –3º y –100 € respectivamente. Surge un
nuevo conjunto, el de los números enteros.
¾ Elconjunto de los números enteros, ℤ, contiene a los naturales. Todo número natural es entero,
pero no todo número entero es natural. El número 3 es natural y entero, sin embargo, el número –12
es entero pero no es natural.
ℤ = {......., − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.......

}

Cuando vamos a una tienda podemos encontramos productos por valor de 3,25 € o podemos comprar
unabotella de litro y medio de agua o pedir tres cuartos de jamón serrano. Hemos utilizado números que
no se encontraban en los ejemplos anteriores, son los números racionales.
¾ Los números racionales, cuyo conjunto se representa por ℚ, son los números que se pueden
expresar como cociente de dos números enteros1.
−4
16
⎧
, 3, − 2, − 1, 0, 9 , 0´23,
, 3, 4, − 0´35555 ..., ....
ℚ = ⎨ ......., − 5,3
2
⎩

}

a
. Esta nueva
b
representación de a:b se llama fracción. En el apartado de fracciones se explica más detalladamente.
1

El cociente de dos números enteros a y b, con b ≠ 0, se puede expresar de la forma

C.E.A. San Francisco – Los números Reales. Fracciones 1/19

Los números que se pueden representar de esta forma son:

• Números naturales y enteros: 3 =

3
1−9 =

−18
2

−1=

−4
4

25 =

125
5

• Números decimales, con un número finito de cifras decimales:
7,5 =

15
2

0,33 =

33
100

1,25 =

5
4

12,347 =

12347
1000

• Los números periódicos puros: Son números decimales en los que la parte decimal está
formada por una cifra o un grupo de cifras (periodo), que a partir de la coma, se repiten de
forma ilimitada.
5= 1,66666...
3

256
= 2,585858....
99

4
= 0,148148148 ....
27

• Los números periódicos mixtos: Son números decimales en los que la parte decimal está
formada por un grupo de cifras (anteperiodo) al que le sigue otro (periodo) que se repite de
forma ilimitada.
)
5
= 0,833333 ... = 0,83
6

)
43
= 1,1944444 .... = 1,194
36

2631
͡
= 2,65757575 .... = 2,657
990

Por lotanto, los números naturales y enteros están dentro del conjunto de los números racionales y
éstos dentro de los reales.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

¿A quién no le suena el número “pi”, π = 3,1416?. En realidad, su verdadero valor es 3,1415926…, que
es un número con infinitas cifras decimales no periódicas. Por lo tanto, no lo podemos representar
mediante una fracción, tenemos un número irracional.
¾Los números irracionales, , son los números reales que no pueden ser expresados mediante una
fracción. Estos números forman un conjunto aparte de los racionales
⎧⎪
1− 5
 = ⎨..., 2, π,
, − 7,
3
⎪⎩

⎫⎪
..⎬
⎪⎭

 ⊂ ℝ

En definitiva, los números reales están formados por la unión de los dos conjuntos que no tienen nada en
común, la unión del conjunto de los números racionales y...